Задача с параметром

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра $a$, при каждом из которых две точки вида $(x;a_0)$, где $x\in\mathbb{R}$, принадлежат множеству решений $S$, изображённому на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет две точки пересечения с множеством $S$.

Наше уравнение равносильно

$$\begin{cases} a=x,\\ a=-\frac{1}{3}(x-3)^2+\frac{7}{3}, \end{cases} \qquad \left[ \begin{array}{l} a>x,\\ a=(x-1)^2+1 \end{array} \right.$$

Пусть $S$ — множество, задающееся полученной совокупностью. Тогда $S$ — это объединение двух частей парабол (голубой и зелёной), изображённых на рисунке.

Заметим, что параболы пересекаются в двух точках $A$ и $B$, расположенных на прямой $a=x$: $A(1;1)$, $B(2;2)$.

Таким образом, от обеих парабол нужно взять части, соответствующие $x\le 1$ или $x\ge 2$.

Также на рисунке розовым цветом обозначена область, в которой может находиться прямая $a=a_0$, если требуется две точки пересечения этой прямой с множеством $S$.

Таким образом, нам подходят все прямые, лежащие ниже прямой, проходящей через $B$, и лежащие выше прямой, проходящей через $C$.

Точка $C$ имеет координаты $\left(3;\frac{7}{3}\right)$. Следовательно,

$$a<2 \qquad \text{или} \qquad a>\frac{7}{3}.$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;2)\cup\left(\frac{7}{3};+\infty\right).$$

Перепишем исходную систему в виде

$$\begin{cases} a\le -x^2-2x,\\ a\ge \dfrac{x^2-4x}{6}. \end{cases}$$

Будем рассматривать параметр $a$ как переменную. Построим в системе координат $xOa$ множество $S$ решений системы. Если некоторая точка плоскости с координатами $(x_0;a_0)$ принадлежит этому множеству, $S$, то для исходной задачи это означает, что если параметр $a$ принимает значение $a_0$, то $x_0$ будет одним из решений системы. Нас просят найти все такие значения параметра $a$, при каждом из которых ровно одна из точек вида $(x;a_0)$, где $x\in\mathbb{R}$, принадлежит множеству решений $S$, изображённому на плоскости $xOa$. Фактически это равносильно тому, что горизонтальная прямая $a=a_0$ имеет ровно одну точку пересечения с множеством $S$.

Построим на плоскости множество решений каждого из неравенств системы, а затем найдём пересечение этих множеств.

• Множеством решений первого неравенства являются точки, лежащие не выше параболы

$$f(x)=-x^2-2x.$$

• Множеством решений второго неравенства являются точки, лежащие не ниже параболы

$$g(x)=\frac{x^2-4x}{6}.$$

Убедимся, что вершина параболы $f$ лежит выше параболы $g$. Её координаты равны

$$x_1=\frac{-2}{-2\cdot(-1)}=-1; \qquad a_1=f(-1)=1.$$

Так как

$$g(-1)=\frac{5}{6}<1=f(-1),$$ то вершина параболы $f$ действительно лежит выше параболы $g$.

Построим графики.

Множеством $S$ решений системы является пересечение внутренних областей парабол $f$ и $g$, включая границы.

Только горизонтальные прямые $l_1\colon a=0$ и $l_2\colon a=1$ будут иметь с $S$ ровно одну точку пересечения. При этом $l_2$ — касательная в вершине параболы $f$, а не прямая, проходящая через эту точку решения парабол.

Любая горизонтальная прямая ниже $l_1$ или выше $l_2$ не будет иметь пересечений с множеством $S$.

Прямые между $l_1$ и $l_2$ будут иметь больше одной точки пересечения с $S$.

Таким образом, исходная система имеет единственное решение при

$$a\in\{0;1\}.$$

Ответ:

$$a\in\{0;1\}.$$

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что и график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного следует, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$.

Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 8\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=8y+7\cdot 0^2+a,\\ 0^2+y^2=1 \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{cases} 8+1=8y+a,\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$9=8\cdot 1+a,$$ $$a=1.$$

При $y=-1$ получаем: $$9=8\cdot (-1)+a,$$ $$a=17.$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение.

Подставим $a=17$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$8\cdot 2^x+7x+1=8y+7x^2+17,$$ $$8\cdot 2^x+7x=8y+7x^2+16.$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$16+7=8y+7+16,$$ $$8y=0,$$ $$y=0.$$

Значит, при $a=17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы будет являться также точка $(-1;0)$. Значит, при $a=17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$8\cdot 2^x+7x+1=8y+7x^2+1,$$ $$y=\frac{8\cdot 2^x+7x-7x^2}{8}=2^x+\frac78x-\frac78x^2.$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac78x \ge \frac78x^2$, следовательно, $$\frac78x-\frac78x^2 \ge 0.$$ При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac78x-\frac78x^2>1.$$

Значит, у графика первого уравнения нет точек пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, а по симметрии и при $x \in [-1;0)$ тоже нет. Остается единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$.

Следовательно, $a=1$ является ответом.

Ответ: $$a \in \{1\}.$$

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 6\cdot 2^{|0|}+7\cdot |0|+1=6y+7\cdot 0^2+a\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 6+1=6y+a\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$7=6\cdot 1+a$$ $$a=1$$

При $y=-1$ получаем: $$7=6\cdot (-1)+a$$ $$a=13$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=13$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$6\cdot 2^x+7x+1=6y+7x^2+13$$ $$6\cdot 2^x+7x=6y+7x^2+12$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$12+7=6y+7+12$$ $$6y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=13$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)$. Значит, при $a=13$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=1$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $$6\cdot 2^x+7x+1=6y+7x^2+1$$ $$y=\frac{6\cdot 2^x+7x-7x^2}{6}=2^x+\frac76x-\frac76x^2$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac76x \ge \frac76x^2$, следовательно, $\frac76x-\frac76x^2 \ge 0$. При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac76x-\frac76x^2>1$$

Значит, у графика первого уравнения есть единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$. Следовательно, $a=1$ является ответом.

Ответ:

$$a \in \{1\}$$

Заметим, что второе уравнение системы задает окружность, которая симметрична относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется. При этом данная окружность имеет радиус $1$, следовательно, она определена при $x \in [-1;1]$.

Рассмотрим первое уравнение системы. Заметим, что график этого уравнения также симметричен относительно оси ординат, так как при замене $x$ на $-x$ уравнение не меняется.

Из вышесказанного получаем, что если график первого уравнения имеет точку пересечения с окружностью при $x \in (0;1]$, то будет существовать еще одна точка пересечения при $x \in [-1;0)$. Значит, существует единственный случай, когда система может иметь единственное решение: если точка пересечения графиков имеет абсциссу $x=0$. Подставим данное значение в систему: $$\begin{cases} 5\cdot 2^{|0|}+6\cdot |0|+7=5y+6\cdot 0^2-a\\ 0^2+y^2=1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 5+7=5y-a\\ y^2=1 \end{cases}$$

Тогда при $y=1$ получаем: $$12=5\cdot 1-a$$ $$a=-7$$

При $y=-1$ получаем: $$12=5\cdot (-1)-a$$ $$a=-17$$

Необходимо понять, действительно ли при данных значениях параметра $a$ система будет иметь единственное решение. Подставим $a=-17$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $|x|=x$. Получим: $$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+17$$ $$5\cdot 2^x+6x=5y+6x^2+10$$

Заметим, что при $x=1$ получаем: $$10+6=5y+6+10$$ $$5y=0$$ $$y=0$$

Значит, при $a=-17$ первому уравнению системы удовлетворяет точка $(1;0)$, которая, в свою очередь, лежит на окружности. Следовательно, решением системы также будет являться точка $(-1;0)$. Значит, при $a=-17$ система имеет более одного решения.

Подставим $a=-7$ в первое уравнение системы. Пусть $x \in (0;1]$, тогда $$5\cdot 2^x+6x+7=5y+6x^2+7$$ $$y=\frac{5\cdot 2^x+6x-6x^2}{5}=2^x+\frac65x-\frac65x^2$$

Так как $x \in (0;1]$, то $\frac65x \ge \frac65x^2$, следовательно, $\frac65x-\frac65x^2 \ge 0$. При этом $2^x>1$. Тогда $$y=2^x+\frac65x-\frac65x^2>1$$

Значит, у графика первого уравнения есть единственная точка пересечения с окружностью — точка $(0;1)$, следовательно, $a=-7$ является ответом.

Ответ: $$a \in \{-7\}$$