Задача с параметром

$$\left(*\right) \begin{cases} 4x - 3 \geq 0 \\ 2x - a > 0 \\ 3x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

$$\sqrt{4x - 3}(\ln(2x - a) - \ln(3x + a)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sqrt{4x - 3} = 0 \\ &\ln(2x - a) - \ln(3x + a) = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &4x - 3 = 0 \\ &2x - a = 3x + a \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{3}{4} \\ &x = -2a \end{aligned} \right.$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$.

Для первого корня $x = \frac{3}{4}$: $$\begin{cases} 4\cdot\tfrac{3}{4} - 3 \geq 0 \\ 2\cdot\tfrac{3}{4} - a > 0 \\ 3\cdot\tfrac{3}{4} + a > 0 \\ 0 \leq \tfrac{3}{4} \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \geq 0 \\ \tfrac{3}{2} - a > 0 \\ \tfrac{9}{4} + a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{3}{2} \\ a > -\tfrac{9}{4} \end{cases}$$

Для второго корня $x = -2a$: $$\begin{cases} 4(-2a) - 3 \geq 0 \\ 2(-2a) - a > 0 \\ 3(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -8a - 3 \geq 0 \\ -5a > 0 \\ -5a > 0 \\ -1 \leq 2a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq -\frac{3}{8} \\ a < 0 \\ -\frac{1}{2} \leq a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq -\frac{3}{8}$$

Проверим совпадение корней:

$$-2a = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = -\frac{3}{8}$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{4}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{3}{2}\right)$

$$\left(*\right) x^2 + 8x + 16 - a^2 \neq 0 \Leftrightarrow(x + 4 - a)(x + 4 + a) \neq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \neq a - 4 \\ x \neq -a - 4 \\ \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$9x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{a^2}{9} \Rightarrow x = \pm\frac{a}{3}$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$, т.е являются корнями данного уравнения. Для этого подставим их в $\left(*\right)$

1. $x = \frac{a}{3}$

$$\begin{cases} \tfrac{a}{3} \neq a - 4 \\ \tfrac{a}{3} \neq -a - 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 6 \\ a \neq -3 \\ \end{cases}$$

1. $x = -\frac{a}{3}$

$$\begin{cases} -\tfrac{a}{3} \neq a - 4 \\ -\tfrac{a}{3} \neq -a - 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 3 \\ a \neq -6 \\ \end{cases}$$

1. Проверяем совпадение корней:

$$\frac{a}{3} = -\frac{a}{3} \Leftrightarrow a = 0$$

В итоге: при $a \neq 6, a \neq -3$ корень $x = \frac{a}{3}$ является корнем уравнения. При $a \neq -6, a \neq 3$ корень $x = -\frac{a}{3}$ является корнем уравнения. При $a = 0$ корни уравнения совпадают.

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a \in (-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)$$

Ответ: $(-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)$

Сделаем замену $\sqrt{4x - x^2} = t \geq 0$.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке $x = 2$ и равен $4$.

Тогда: $t \in [0; 2]$.

Имеем: $$t^4 - 32t = a^2 - 14a$$

Введём функцию $f(t) = t^4 - 32t$

Возьмём производную от этой функции и найдём её нули: $$f'(t) = 4t^3 - 32 = 0 \Leftrightarrow t = 2$$

Точка $t = 2$ является точкой минимума данной функции. Следовательно на отрезке $[0; 2]$ она монотонно убывает.

$$f(0) = 0$$ $$f(2) = 16 - 64 = -48$$

Значения данной функции будут находиться в промежутке $[-48; 0]$ при $t \in [0; 2]$.

Тогда, чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо чтобы правая часть уравнения лежала в промежутке $[-48; 0]$.

$$\begin{cases} a^2 - 14a \leq 0\\ a^2 - 14a \geq -48 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(a - 14) \leq 0\\ a^2 - 14a + 48 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in [0; 14]\\ (a - 6)(a - 8) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow a \in [0; 6] \cup [8; 14]$$

Ответ: $[0; 6] \cup [8; 14]$

Сделаем замену $\sqrt{2x - x^2} = t \geq 0$.

Подкоренное выражение представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз. Максимум этой функции находится в точке $x = 1$ и равен $1$.

Тогда: $t \in [0; 1]$.

Имеем:

$$t^4 - 4t = a^2 - 4a$$

Введём функцию $f(t) = t^4 - 4t$

Возьмём производную от этой функции и найдём её нули:

$$f'(t) = 4t^3 - 4t = 0 \Leftrightarrow t = 1$$

Точка $t = 1$ является точкой минимума данной функции. Следовательно на отрезке $[0; 1]$ она монотонно убывает.

$$f(0) = 0$$ $$f(1) = -3$$

Значения данной функции будут находиться в промежутке $[-3; 0]$ при $t \in [0; 1]$.

Тогда, чтобы исходное уравнение имело решения, необходимо чтобы правая часть уравнения лежала в промежутке $[-3; 0]$.

$$\begin{cases} a^2 - 4a \leq 0\\ a^2 - 4a \geq -3 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(a - 4) \leq 0\\ (a - 1)(a - 3) \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \in [0; 4]\\ a \in (-\infty; 1] \cup [3; + \infty) \end{cases} \Leftrightarrow a \in [0; 1] \cup [3; 4]$$

Ответ: $[0; 1] \cup [3; 4]$

Пусть $x + \frac{a^2}{x} = t$. Имеем:

$$|t + 1| + |t - 1| = 2$$

Последовательно раскроем модули:

$$\left[\begin{aligned} & \begin{cases} t + 1 + t -1 = 2\\ t > 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} t + 1 - t + 1 = 2\\ t \in[-1; 1] \end{cases}\\ &\begin{cases} -t -1 - t + 1 = 2\\ t < -1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & \begin{cases} t = 1\\ t > 1 \end{cases}\\ &t \in[-1; 1]\\ &\begin{cases} t = -1\\ t < -1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow t \in [-1; 1]$$

Исходное уравнение будет иметь решения, когда $t \in [-1; 1]$.

Проанализируем замену:

$$x + \frac{a^2}{x} = t \Leftrightarrow \frac{x^2 - xt + a^2}{x} = 0$$

$$\begin{cases} x^2 -xt + a^2 = 0\\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$

Данное уравнение будет иметь решения, когда $D \geq 0$:

$$D = t^2 - 4a^2 \geq 0 \Leftrightarrow (t- 2a)(t + 2a) \geq 0 \Rightarrow t \in (-\infty; -2|a|] \cup [2|a|; + \infty)$$

Учитывая, что $t \in [-1; 1]$, получаем условия:

$$\left[\begin{aligned} & -2|a| \geq -1\\ & 2|a| \leq 1 \end{aligned}\right. \Rightarrow |a| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$$

Ответ: $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$