Задача с параметром

$$(*) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$$

Преобразуем исходное неравенство: $$(2x + a + 1 + \tg x)^2 - (2x + a - 1- \tg x)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (2x + a + 1 + \tg x - 2x - a + 1 + \tg x)(2x + a + \tg x + 1 + 2x + a - \tg x - 1) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (4x + 2a)(2\tg x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &4x + 2a = 0 \\ &2\tg x + 2 = 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = -\tfrac{a}{2} \\ & \tg x = -1 \end{aligned}\right.$$

Второе уравнение совокупности даёт единственное решение на отрезке $x = -\frac{\pi}{4}$. Первое уравнение даёт одно решение на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, исключая случаи, когда $-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

$$-\frac{\pi}{2} < -\frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \pi < a < -\pi \Rightarrow a \in (-\pi; \pi)$$

Проверим совпадение корней: $$-\frac{\pi}{4} = -\frac{a}{2} \Leftrightarrow a = \frac{\pi}{2}$$

Отметим количество решений $x$ в зависимости от значений параметра $a$:

Тогда исходное уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, при $$a \in (-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t$, $t > 0$:

Одно положительное решение $t$ исходного уравнения даёт одно решение для $x$, поэтому уравнение относительно переменной $t$ будет иметь столько же корней, сколько и уравнение относительно переменной $x$.

$$t^2 + (a - 6)t = (2 + 3|a|)t+ (a - 6)(3|a| + 2)$$ $$t^2 + (a - 6)t - (2 + 3|a|)t - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$$ $$t(t + (a - 6)) - (2 + 3|a|)(t + (a - 6)) = 0$$ $$(t + a - 6)(t - 2 - 3|a|) = 0$$ $$t = -a + 6 \text{ или } t = 2 + 3|a|$$

По условию $t > 0$. Проверим корни на это условие:

$$\begin{cases} t = -a + 6\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ -a + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow a < 6$$

$$\begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ 2 + 3|a| > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in R$$

Найдём значения параметра $а$, при которых корни уравнения совпадают:

$$-a + 6 = 2 + 3|a| \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ -a + 6 = 2 + 3a \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ -a + 6 = 2 - 3a \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ a = 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ a = -2 \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Rightarrow \left[\begin{aligned} &a = 1\\ &a = -2 \end{aligned}\right.$$

В итоге:

Уравнение имеет $1$ корень при:

$$a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$$

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$.

Проверим, при каких значениях параметра $a$ уравнение обращается в линейное: $$a^ 2 + a + 1 = 0, D = 1 - 4 = -3 < 0 \Rightarrow \text{при } a \in R \text{ уравнение нелинейное}$$ Графиком функции $y = (a^2 + a + 1)x^2 + (2a - 3)x + a - 5$ является парабола ветвями строго вверх при любом значении параметра $a$.

Нарисуем схему:

Для того чтобы корни исходного уравнения удовлетворяли условию задачи, необходимо выполнение требования: $$y(1) < 0 \Leftrightarrow a^2 + a + 1 + 2a - 3 + a - 5 < 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow a^2+ 4a-7 < 0 \Rightarrow a \in (-2 -\sqrt{11}; -2 + \sqrt11)$$

Ответ: $(-2 -\sqrt{11}; -2 + \sqrt11)$

Рассмотрим два случая:

1. Уравнение имеет 1 корень, больший $a$. ($D = 0$).

2. Уравнение имеет 2 корня, каждый из которых $> a$.

3. Найдём, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет единственый корень: $$D = 0 \Leftrightarrow 36a^2 - 4(10a^2 - a - 4) = 0 \Leftrightarrow 36a^2 - 40a^2 + 4a + 16 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -4a^2 + 4a + 16 = 0 \Leftrightarrow a^2 - a - 4 = 0\Leftrightarrow a = \tfrac{1}{2}(1 \pm \sqrt{17})$$ Получили 2 значения $a$, при которых исходное уравнение имеет $1$ корень $x_0 = -\frac{-6a}{2} = 3a$.

Найдём, при каких значениях $a$ единственный корень $x_0 = 3a > a$: $$3a > a \Leftrightarrow2a > 0 \Rightarrow a > 0$$ Значит, нам подходит только одно значение параметра $a = \tfrac{1}{2}(-2 + \sqrt{17})$

1. Уравнение имеет 2 корня, каждый из которых $> a$.

Рассмотрим функцию $y = f(x) = x^2 -6ax + 10a^2 - a - 4$ (график парабола ветвями вверх).

Нарисуем схему:

Запишем необходимые условия для такой конфигурации: $$\begin{cases} D > 0\\ y(a) > 0\\ x_{\text{в}} > a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 36a^2 - 4(10a^2 - a - 4) > 0\\ a^2 -6a^2 + 10a^2 - a - 4 > 0\\ 3a > a \end{cases}$$ Объединяя значение $a = \tfrac{1}{2}(1 + \sqrt{17})$ и решение данной системы, получаем ответ: $$a \in \left(1; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right]$$

Ответ: $\left(1; \frac{1 + \sqrt{17}}{2}\right]$

Условие $\quad$ "все корни уравнения по модулю меньше 1" $\quad$ означает, что все корни должны лежать в интервале $(-1; 1)$.

Рассмотрим 2 случая для функции $y = f(x) = ax^2 + (4 - 2a)x + 1$:

1. Уравнение $y = 0$ линейное и имеет один корень

2. Уравнение $y = 0$ квадратное и все корни лежат в интервале $(-1; 1)$.

3. $a = 0$. Уравнение примет вид: $$4x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\frac{1}{4} \in (-1; 1) \Rightarrow a = 0 \text{ нам подходит}$$

4. Уравнение имеет хотя бы 1 корень, если $D \geq 0$. Нарисуем схему:

2.1) $a > 0$

2.2) $a < 0$

Запишем необходимые условия для таких конфиругаций: $$\begin{cases} D \geq 0\\ \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a> 0\\ y(-1) > 0\\ y(1) > 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ y(-1) < 0\\ y(1) < 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \end{cases}$$

Объединяя значение $a = 0$ с решением данной системы, получаем: $$a \in \{0\} \cup [4; 5)$$

Ответ: $\{0\} \cup [4; 5)$