Задача с параметром

Данное уравнение равносильно совокупности: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < -7x\\ x^2 + a^2 + x - 7a + 7x + a = 0 \end{cases}\\ &\begin{cases} a \geq -7x\\ x^2 + a^2 + x - 7a - 7x - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a < -7x\\ (x + 4)^2 + (a - 3)^2 = 5^2 \end{cases}\\ &\begin{cases} a \geq -7x\\ (x - 3)^2 + (a - 4)^2 = 5^2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Получаем, что в системе координат $XOA$ данное уравнение задаёт две неполные окружности, центры которых расположены в точках $(-4; 3), (3; 4)$.

Найдём точки, в которых окружности пересекаются вместе с прямой $a = -7x$. Для этого подставим $x = -\frac{a}{7}$ например в первое уравнение окружности: $$\frac{a^2}{49} - \frac{8a}{7} + 16 + a^2 - 6a + 9 = 25 \Leftrightarrow\frac{50a^2}{49} - \frac{50a}{7} = 0 \Leftrightarrow a^2 - 7a = 0 \Leftrightarrow a = 0 \text{ или } a = 7$$ Подставляя полученные значения в уравнения прямой $a = -7x$, получаем точки: $(0; 0), (-1; 7)$.

Каждое значение параметра в данной системе координат представляет собой горизонтальную прямую. Каждая точка пересечения такой горизонтальной прямой с окружностью дает ровно 1 решение для исходного уравнения.

Построим графики функций и отметим ключевые случаи:

Рассмотрим случаи последовательно. Начиная с $a = -1$, где горизонтальная прямая касается правой окружности снизу и до момента, пока прямая не дойдёт до первой общей точки окружностей, мы будем иметь более двух решений.

Затем мы будем иметь ровно 2 решения до тех пор, пока горизонтальная прямая не пересечёт вторую общую точку окружностей. Мы будем получать более двух решений снова, пока не дойдём до момента, когда горизонтальная прямая коснётся левой окружности сверху.

Далее мы будем получать не более двух решений. В итоге получаем значения параметра:

$$a \in [-1; 0] \cup [7; 8]$$

Ответ: $[-1; 0] \cup [7; 8]$

Данное уравнение равносильно системе: $$\begin{cases} 4|x| - x - 3 - a = 0\\ x^2 - x - a \neq0 \end{cases}$$ Рассмотрим первое уравнение системы отдельно: $$4|x| - x - 3 - a = 0$$ Рассмотрим 2 случая раскрытия модуля: $$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0\\ 4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x < 0\\ -4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

Получаем систему: $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0\\ 4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \\ &\begin{cases} x < 0\\ -4x - x - 3 - a = 0 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ x^2 - x - a \neq0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \geq 0\\ a = 3x - 3 \end{cases} \\ &\begin{cases} x < 0\\ a = -5x - 3 \end{cases} \end{aligned}\right.\\ a \neq x^2 - x \end{cases}$$ Графиком уравнения $a = x^2 - x$ в системе координат $XOA$ является парабола, с вершиной в точке $(0,5; -0,25)$. Парабола $a = x(x - 1)$ пересекает ось $X$ в точках $0, 1;$. Построим графики уравнений в системе координат $XOA$:

Каждое значение параметра в данной системе координат представляет собой горизонтальную прямую. Каждая точка пересечения такой горизонтальной прямой с графиком функции $a = 3x - 3$ или $a = -5x - 3$ дает ровно 1 решение для системы, а следовательно и для исходного уравнения.

Когда горизонтальная прямая пересекает параболу в её общих точках с прямыми $a = 3x - 3$ или $a = -5x - 3$, исходное уравнение будет иметь ровно 1 решение. Найдём точки пересечения параболы с прямыми:

$$x^2 - x = 3x - 3 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1 \text { или } x = 3$$ $$a = 3 - 3 = 0, a = 9 - 3 = 6$$ Получаем точки: $(1; 0), (3; 6)$ $$x^2 - x = -5x - 3 \Leftrightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow (x + 1)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -1 \text { или } x = -3$$ $$a = 5 - 3 = 2, a = 15 - 3 = 12$$ Получаем точки: $(-1; 2), (-3; 12)$

Рассмотрим ключевые случаи:

В итоге, при $a \in (-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)$ исходное уравнение имеем ровно два различных решения.

Ответ: $(-3; 0) \cup (0; 2) \cup (2; 6) \cup (6; 12) \cup (12; +\infty)$

Перенесём все части уравнения с параметром в одну сторону.

$$\sqrt{6x - x^2 - 8} - 3 = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} - a$$

Для решения задачи воспользуемся графическим методом.

Пусть:

$$\begin{cases} y = \sqrt{6x - x^2 - 8} - 3\\ y = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} - a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y + 3= \sqrt{6x - x^2 - 8}\\ y + a = \sqrt{1 + 2ax - a^2 - x^2} \end{cases}$$ Возведём уравнения в квадрат учитывая, что $y - 3\geq 0$ и $y + a \geq 0$ $$\begin{cases} (y + 3)^2 = 6x - x^2 - 8\\ (y + a)^2 = 1 + 2ax - a^2 - x^2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (y + 3)^2 + x^2 - 6x + 8 = 0\\ (y + a)^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 1 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} (y + 3)^2 + (x - 3)^2 = 1\\ (y + a)^2 + (x - a)^2 = 1 \end{cases}$$

График первого уравнения системы представляет собой полуокружность (с учётом $y\geq 3$) с фиксированным центром в точке $(3; -3)$. График второго уравнения системы представляет собой также полуокружность, но уже с переменным центром в точке $(a; -a)$.

Траекторией движения второго графика является прямая $y = -x$, так как $y_0 = -a, x_0 = a$, тогда $y_0 = -x_0$.

Заметим, что центр первой полуокружности также будет лежать на прямой $y = -x$ и радиусы этих полуокружностей равны, поэтому в момент, когда центры полуокружностей совпадут система, а следовательно и исходное уравнение, будут иметь бесконечное количество решений, что нам не подходит. Центры окружностей совпадут при $a = 3$, значит это значение параметра мы в ответ не берём.

Построим графики и отметим ключевые случаи:

Из графика видно, что система (а значит и исходное уравнение) имеет ровно одно решение при $a \in [2; 4]$. Исключая значение $a = 3$, получаем полный ответ:

$$a \in [2; 3) \cup(3; 4]$$

Ответ: $[2; 3) \cup(3; 4]$

Преобразуем систему:

$$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &xy - x + 7 = 0\\ &y - x + 7 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 3x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{aligned} &y = -\tfrac{7}{x} + 1\\ &y = x - 7 \end{aligned}\right.\\ y = 3x + a \end{cases}$$

Уравнение $y = 3x + a$ представляет собой множество прямых, которые параллельны прямой $y = 3x$. Параметр в данном случае будет перемещать график вдоль оси $OY$.

Для того чтобы исходная система имела ровно $2$ различных решения, график прямой $y = 3x + a$ должен иметь ровно $2$ пересечения с остальными графиками функций.

Построим графики и отметим ключевые случаи:

Рассмотрим все значения параметра, постепенно увеличивая его. Начиная от $-\infty$ мы будем иметь 3 решения исходной системы, так как прямая $y = 3x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках, а также пересекать прямую $y = x - 7$.

Увеличивая значение параметра, мы придём к случаю, когда прямая $y = 3x + a$ пересечёт прямую $y = x - 7$ и гиперболу $y = 1 - \tfrac{7}{x}$ в их общей точке $(7; 0)$. В этом случае исходная система будет иметь ровно 2 решения. Найдём значения параметра, подставив координаты этой точки в уравнение $y = 3x + a$

$$y = 3x + a \Leftrightarrow a = y - 3x = 0 - 21 = -21$$

После этого, продолжая увеличивать значения параметра, мы снова будем получать по $3$ решения исходной системы, пока не попадём во вторую общую точку гиперболы и прямой $y = x - 7$, которая имеет координаты $(1; -6)$.

Найдём значение параметра по такому же принципу:

$$a = y - 3x = -6 - 3 = -9$$

Продолжая увеличивать значения параметра, мы все также будем получать по $3$ решения, пока прямая $y = 3x + a$ не дойдёт до момента касания с правой ветвью гиперболы. Затем будем получать всего 1 пересечение с прямой $y = x - 7$ до тех пор, пока второй раз не коснёмся уже левой ветви гиперболы.

В этих точках исходная система снова будет иметь $2$ решения.

Найдём точки касания прямой $y = 3x + a$ и гиперболы $y = 1 - \tfrac{7}{x}$.

$$3x + a = 1 - \frac{7}{x} \Leftrightarrow 3x^2+ (a - 1)x + 7 = 0$$ Чтобы данное уравнение имело единственное решение, нужно чтобы дискриминант был равен $0$:

$$D = (a - 1)^2 - 84 = 0 \Leftrightarrow (a - 1 - \sqrt{84})(a - 1 + \sqrt{84}) = 0 \Leftrightarrow a= 1 \pm \sqrt{84} \Leftrightarrow a = 1 \pm2\sqrt{21}$$

Значение параметра $a = 1 + 2\sqrt{21}$ соответствует касанию с левой ветвью гиперболы, a $a = 1 - 2\sqrt{21}$ касанию с правой ветвью.

Увеличивая значение параметра , начиная с $a = 1 + 2\sqrt{21}$ мы будем получать по $3$ решения. И так до бесконечности.

Ответ: $\{-21; -9; 1 - 2\sqrt{21}; 1 + 2\sqrt{21}\}$

Обозначим левую часть уравнения за $g(x)$, а правую за $h(x)$. Уравнение будет иметь не более одного решения, если графики этих функций будут иметь не более одной точки пересечения.

Преобразуем левую часть уравнения:

$$\left[\begin{aligned} &\begin{cases} 2x^2 - 3x - 2 \geq 0\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} 2x^2 - 3x - 2 < 0\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) \geq 0\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} \left(x + \frac{1}{2}\right)(x - 2) < 0\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} x \in (-\infty; -\tfrac{1}{2}] \cup [2; +\infty)\\ g(x) = 2x^2 - 3x - 2 \end{cases}\\ &\begin{cases} x \in (-\tfrac{1}{2}; 2)\\ g(x) = -2x^2 + 3x + 2 \end{cases} \end{aligned}\right.$$

График функции $h(x)$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вниз. Параметр в данном случае будет перемещать пораболу вверх или вниз вдоль прямой $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{4} = -2$.

Из графика видно, что одна точка пересечения будет в том случае, когда парабола $y = -2x^2 - 8x + a$ коснётся левой ветви параболы $y = 2x^2 - 3x - 2$.

При дальнейшем увеличении значения параметра уравнение будет иметь уже более $1$ решения, так как будет более $1$ точки пересечения.

Найдём значение параметра, при котором будет касание:

$$-2x^2 - 8x + a = 2x^2 - 3x - 2 \Leftrightarrow4x^2 + 5x - 2 - a = 0$$ Получили квадратное уравнение. Чтобы существовало касание, необходимо, чтобы это уравнение имело одно решение. Для этого дискриминант должен быть равен нулю.

$$D = 25 + 16(2 + a) = 57 + 16 a = 0 \Leftrightarrow a = -\frac{57}{16}$$

При данном значении параметра точка касания графиков функций будет иметь координаты $(-\tfrac{5}{8}; \tfrac{21}{32})$, что сходится с положением точки на графике.

Ответ: $\left(-\infty; -\frac{57}{16}\right]$