Задача с параметром

$$\begin{cases} (xy^2 - xy - 6y + 6)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} (xy(y - 1) - 6(y - 1))\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} (xy - 6)(y - 1)\sqrt{y + 2} = 0\\ y = ax \end{cases}$$ $$\begin{cases} \left[\begin{aligned} &xy = 6\\ &y = 1\\ &y = -2 \end{aligned}\right.\\ y = ax\\ y + 2 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow\begin{cases} \left[\begin{aligned} &y = \tfrac{6}{x}\\ &y = 1\\ &y = -2 \end{aligned}\right.\\ y = ax\\ y \geq -2 \end{cases}$$

Для того чтобы исходная система уравнений имела ровно $3$ различных решения, прямая $y = ax$ должна пересекать остальные графики функций ровно в $3$ точках. Прямая $y = ax$ представляет собой семейство прямых, проходящих через точку $(0;0)$. Параметр $a$ в данном случае отвечает за наклон прямой. Построим графики соответствующих решений с учётом ограничений:

Проанализируем ключевые случаи. При $a \in (-\infty; 0)$ прямая $y = ax$ не будет пересекать график гиперболы $y = \frac{6}{x}$, следовательно система будет иметь всего 2 решения.

Далее, после перехода значения параметра через $0$, система будет иметь уже целых $4$ решения, так как прямая $y = ax$ будет пересекать обе ветви гиперболы и прямые $y = -2, y = 1$. И так будет продолжаться до тех пор, пока прямая $y = ax$ не пересечёт графики функций $y = \frac{6}{x}$ и $y = 1$ в их общей точке.

В этой ситуации система будет иметь ровно 3 решения, поэтому данный случай мы рассмотрим:

Найдём точку пересечения прямой $y = 1$ с гиперболой $y = \frac{6}{x}$:

$$\frac{6}{x} = 1 \Leftrightarrow x = 6$$

Точка пересечения: $(6; 1)$

Подставим координаты точки в уравнение прямой $y = ax$: $$1 = a\cdot6 \Leftrightarrow a = \frac{1}{6}$$

После этой точки, мы снова будем получать по $4$ решения исходной системы, пока прямая $y = ax$ не пересечёт общую точку гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y = -2$.

В этой точке исходная система снова будет иметь ровно 3 решения. После перехода через эту точку система также будет иметь ровно 3 решения, так как прямая $y = ax$ будет пересекать только правую ветвь гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямые $y = -2, y = 1$.

Значит, начиная с этой точки и до $+\infty$ все значения параметра $a$ мы берём в ответ. Найдём точку пересечения гиперболы $y = \frac{6}{x}$ и прямой $y = -2$:

$$-2 = \frac{6}{x} \Leftrightarrow x -3$$ Подставим координаты точки в уравнение $y = ax$: $$-2 = a\cdot(-3) \Leftrightarrow a = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\left\{\frac{1}{6}\right\} \cup \left[\frac{2}{3}; +\infty\right)$

Второе уравнение системы определено при $a \geq 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $$(|x| - a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 9a^2 - 2y -1 \Leftrightarrow$$ $$(|x| - a^2)^2 + y^2 - 16a^2 = 9a^2 - 2y -1 \Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 + (y + 1)^2 = 25a^2$$ Подставим значение $y + 1$ из второго уравнения системы в первое: $$(|x| - a^2)^2 + (6\sqrt a)^2 = 25a^2 \Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 + 36a = 25a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (|x| - a^2)^2 = 25a^2 - 36a$$ Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях параметра $a \geq 0$ и неизвестной $x$. Тогда уравнение имеет корни (а значит система имеет хотя бы 1 решение), когда правая часть также неотрицательна.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

1. Правая часть равна 0. $25a^2 - 36a = 0$: $$a(25a - 36) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0\\ &a = \frac{36}{25} \end{aligned}\right.$$ При $a = 0$: $$(|x| - 0^2)^2 = 25\cdot0^2 - 36\cdot0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$y + 1 = 6\cdot\sqrt{0} \Leftrightarrow y = -1$$ Система имеет 1 решение: $(0; -1)$. Значит, значение $a = 0$ не подходит.

При $a = \frac{36}{25}$: $$\left(|x| - \left(\frac{36}{25}\right)^2\right)^2 = 25\cdot\left(\frac{36}{25}\right)^2 - 36\cdot\frac{36}{25} \Leftrightarrow \left(|x| - \left(\frac{36}{25}\right)^2\right)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow |x| = \left(\frac{36}{25}\right)^2 \Rightarrow x = \pm\left(\frac{36}{25}\right)^2$$ $$y + 1 = 6\sqrt{\frac{36}{25}} \Leftrightarrow y = \frac{31}{5}$$ При данном значении параметра $a$, система будет иметь 2 решения: $\left(\frac{31}{25}; \pm\left(\frac{36}{25}\right)^2\right)$

Значит, $a = \frac{36}{25}$ подходит.

1. Правая часть уравнения строго положительна: $25a^2 - 36a > 0$. $$25a^2 - 36a > 0$$ Учитывая, что мы рассматриваем только неотрицательные значения параметра $a$ и значение $a = 0$ мы уже рассмотрели, можно поделить неравенство на $a > 0$ без потери знака: $$25a - 36 > 0 \Leftrightarrow a > \frac{36}{25}$$ При таких значениях параметра $a$, уравнение имеет решения: $$|x| - a^2 = \pm\sqrt{25a^2 - 36a} \Leftrightarrow |x| = a^2 \pm \sqrt{25a^2 - 36a}$$

$|x| = a^2 + \sqrt{25a^2 - 36a}$.

Учитывая условие $a > \frac{36}{25}$, получаем, что правая часть уравнения всегда строго положительна $\Rightarrow$ каждое значение параметра $a$ из промежутка $(\tfrac{36}{25}; +\infty)$ будет давать нам 2 решения системы.

В таком случае, чтобы исходная система имела ровно 2 решения, необходимо чтобы уравнение $$|x| = a^2 - \sqrt{25a^2 - 36a}$$ не имело решений.

Это уравнение не будет иметь решений тогда, когда правая часть уравнения отрицательна: $$a^2 -\sqrt{25a^2 - 36a} < 0 \Leftrightarrow a^2 < \sqrt{25a^2 - 36a} \Leftrightarrow a^4 < 25a^2 - 36a \Leftrightarrow$$ Так как $a > \frac{35}{25}$, мы можем поделить обе части неравенства на $a$ без потери знака: $$\Leftrightarrow a^3 < 25a - 36 \Leftrightarrow a^3 - 25a + 36 < 0$$ Разложим на множители: $$36 \vdots \pm1; \pm2; \pm3; \pm4...$$

Последовательно подставляя делители свободного члена в наше выражение, находим корень $(a - 4)$. Поделив выражение на $a - 4$, в итоге получаем: $$(a - 4)(a^2 + 4a - 9) < 0$$ Разложим на множители вторую скобку: $$a^2 + 4a - 9 = 0$$ $$D = 16 + 36 = 52 = 2\sqrt{13}$$ $$a = \frac{-4 \pm 2\sqrt{13}}{2} = -2 \pm \sqrt{13}$$ Получаем: $$(a - 4)(a + 2 + \sqrt{13})(a + 2 - \sqrt{13}) < 0$$

Чтобы верно учесть ограничение $a > \frac{36}{25}$, сравним значения $-2 + \sqrt{13}$. Предположим, что $-2 + \sqrt{13} < \frac{36}{25}$: $$-2 + \sqrt{13} < \frac{36}{25} \Leftrightarrow \sqrt{13} < 3 + \frac{11}{25}$$ Возведём в квадрат обе части неравенства: $$13 < 9 + \frac{66}{25} + \frac{121}{625} \Leftrightarrow 4 < \frac{66\cdot25 + 121}{625} \Leftrightarrow 2500 < 1771$$ Это неверное неравенство, значит верно обратное: $-2 + \sqrt{13} > \frac{36}{25}$

Учитывая ограничения $a > \frac{36}{25}$, получаем: $$a \in (\sqrt{13} - 2; 4)$$

Ответ: $a \in (\sqrt{13} - 2; 4) \cup \left\{\frac{36}{25}\right\}$

Второе уравнение системы определено при $a \geq 0$.

Рассмотрим первое уравнение системы: $$(|x| + a^2)^2 + (y - 4a)(y + 4a) = 4y - 4 \Leftrightarrow$$ $$(|x| + a^2)^2 + y^2 - 16a^2 = 4y - 4 \Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 + (y - 2)^2 = 16a^2$$ Подставим значение $y - 2$ из второго уравнения системы в первое: Из второго уравнения: $0,5y - 1 = \sqrt{6a} \Rightarrow y - 2 = 2\sqrt{6a}$ $$(|x| + a^2)^2 + (2\sqrt{6a})^2 = 16a^2 \Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 + 24a = 16a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (|x| + a^2)^2 = 16a^2 - 24a$$ Проанализируем полученное уравнение. Левая часть уравнения неотрицательна при любых значениях параметра $a \geq 0$ и неизвестной $x$. Тогда уравнение имеет корни (а значит система имеет хотя бы 1 решение), когда правая часть также неотрицательна.

Рассмотрим данные случаи по отдельности:

1. Правая часть равна 0. $16a^2 - 24a = 0$: $$a(16a - 24) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &a = 0\\ &a = \frac{3}{2} \end{aligned}\right.$$ При $a = 0$: $$(|x| + 0^2)^2 = 16\cdot0^2 - 24\cdot0 \Leftrightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0$$ $$0,5y - 1 = \sqrt{0} \Leftrightarrow y = 2$$ Система имеет 1 решение: $(0; 2)$. Значит, значение $a = 0$ не подходит.

При $a = \frac{3}{2}$: $$\left(|x| + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right)^2 = 16\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 24\cdot\frac{3}{2} \Leftrightarrow \left(|x| + \frac{9}{4}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow |x| = -\frac{9}{4}$$ Это уравнение не имеет решений, так как модуль не может быть отрицательным. Значит, $a = \frac{3}{2}$ не подходит.

1. Правая часть уравнения строго положительна: $16a^2 - 24a > 0$. $$16a^2 - 24a > 0$$ Учитывая, что мы рассматриваем только неотрицательные значения параметра $a$ и значение $a = 0$ мы уже рассмотрели, можно поделить неравенство на $a > 0$ без потери знака: $$16a - 24 > 0 \Leftrightarrow a > \frac{3}{2}$$ При таких значениях параметра $a$, уравнение имеет решения: $$|x| + a^2 = \pm\sqrt{16a^2 - 24a} \Leftrightarrow |x| = -a^2 \pm \sqrt{16a^2 - 24a}$$

$|x| = -a^2 - \sqrt{16a^2 - 24a}$.

Данное уравнение не имеет решений, так как правая часть строго отрицательна.

Тогда, чтобы исходная система имела ровно два различных решения, необходимо чтобы уравнение $$|x| = -a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a}$$ имело ровно два решения. Для этого правая часть уравнения должна быть строго положительна.

$$-a^2 + \sqrt{16a^2 - 24a} > 0 \Leftrightarrow \sqrt{16a^2 - 24a} > a^2 \Leftrightarrow 16a^2 - 24a > a^4 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 16a - 24 > a^3 \Leftrightarrow a^3 - 16a + 24 < 0$$ Разложим на множители: $$24\vdots \pm 1, \pm2, \pm3,\pm4, \pm6...$$ Последовательно подставляя делители свободного члена в выражение, находим корень $a = 2$. $$(a - 2)(a^2 + 2a - 12) < 0$$ $$(a - 2)(a + 1 + \sqrt{13})(a + 1 - \sqrt{13}) < 0$$

Сравним числа $\sqrt{13} - 1$ и 2: $$\sqrt{13} - 1 > 2 \Leftrightarrow \sqrt{13} > 3 \Leftrightarrow 13 > 9$$ Это верное неравенство.

Учитывая ограничение $a > \frac{3}{2}$, получаем: $$a \in (2; \sqrt{13} - 1)$$

Ответ: $a \in (2; \sqrt{13} - 1)$

$$(*) \quad x^2 - a^2 \geq 0$$

Возведём в квадрат обе части уравнения: $$x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a + 1)x + a \Leftrightarrow 3x^2 - (4a + 1)x + a^2 + a = 0$$

Найдём корни данного квадратного уравнения и выразим их через параметр: $$D = (4a + 1)^2 - 4\cdot3\cdot(a^2 + a) = 16a^2 + 8a + 1 - 12a^2 - 12a = 4a^2- 4a + 1 = (2a - 1)^2$$

$$x = \frac{4a + 1 \pm\sqrt{(2a - 1)^2}}{6}$$ $$x_1 = \frac{4a + 1 +\sqrt{(2a - 1)^2}}{6} = \frac{4a + 1 +2a - 1}{6} = a$$ $$x_2 = \frac{4a + 1 -\sqrt{(2a - 1)^2}}{6} = \frac{4a + 1 -2a + 1}{6} = \frac{2a + 2}{6} = \frac{a + 1}{3}$$

Найдём, при каких значениях $a$ найденные корни являются корнями исходного уравнения на промежутке $[0; 1]$

$x_1$:

Проверяем условие $(*)$ $$a^2 - a^2 \geq 0 \Leftrightarrow 0 \geq 0 \Rightarrow a \in R$$ $$0 \leq a \leq 1 \Rightarrow a \in [0; 1]$$ При $a \in [0;1]$, $x_1$ является корнем уравнения.

$x_2$: $$\left(\frac{a + 1}{3}\right)^2 - a^2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a^2 + 2a + 1}{9} - a^2 \geq 0 |\cdot9$$ $$a^2 + 2a + 1 - 9a^2 \geq 0 \Leftrightarrow8a^2 - 2a - 1 \leq 0 \Leftrightarrow (a + \tfrac{1}{4})(a - \tfrac{1}{2}) \leq 0$$

$$a \in \left[-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$$ $$0 \leq \frac{a + 1}{3} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq a + 1 \leq 3 \Leftrightarrow -1 \leq a \leq 2$$ Пересекая данные решения, получаем: $$a \in \left[-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$$

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{a + 1}{3} \Leftrightarrow 3a = a + 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$$

Определим, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет ровно 1 корень:

В точке $a = \frac{1}{2}$ корни совпадают. Значит, при $a = \frac{1}{2}$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 корень.

При $a = 0$ исходное уравнение имеет 2 решения. $$a \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right]$$

Ответ: $\left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right]$

$$(*) \quad x^2 + 4x - 8a \geq 0$$

Возведём в квадрат обе части уравнения: $$x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2 + 4x)^2 - 16a(x^2 + 4x) +64a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^4 - 16x^2 + 64a^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 16ax^2 - 64ax +64a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 8x^3 + 32x^2 - 16ax^2 - 64ax = 0 \Leftrightarrow x^3 + 4x^2 - 2ax^2 - 8ax = 0 \Leftrightarrow x^2(x + 4) -2ax(x + 4) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x^2 - 2ax)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x - 2a)(x + 4) = 0$$

Откуда получаем: $$\left[\begin{aligned} &x_1 = 0\\ &x_2 = 2a\\ &x_3 = -4 \end{aligned}\right.$$

Найдём, при каких значениях $a$ найденные корни являются корнями исходного уравнения.

$x_1$:

Проверяем условие $(*)$ $$0^2 + 4\cdot0 - 8a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$$

При $a \in (-\infty; 0]$, $x_1$ является корнем уравнения.

$x_2$: $$(2a)^2 + 4\cdot2a - 8a \geq 0 \Leftrightarrow4a^2 \geq 0 \Rightarrow a \in R$$ При $a \in R$, $x_2$ является корнем уравнения.

$x_3$: $$(-4)^2 + 4\cdot(-4) -8a \geq 0 \Leftrightarrow16 - 16 - 8a \geq 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0]$$ При $a \in (-\infty; 0]$, $x_3$ является корнем уравнения.

Проверим совпадения корней: $x_1 = x_2$: $$0 = 2a \Rightarrow a = 0$$ При $a = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают.

$x_2 = x_3$: $$2a = -4 \Leftrightarrow a = -2$$ При $a = -2$ корни $x_2$ и $x_3$ совпадают.

Отметим количество решений на оси:

В точке $a = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают. Значит, при $a = 0$ исходное уравнение будет иметь 2 корня.

При $a = -2$ корни $x_2$ и $x_3$ совпадают. Значит, при $a = -2$ исходное уравнение будет иметь 2 корня.

Итак, при $a \in (-\infty; -2)$ – три различных решения.

При $a \in (2;0)$ – три различных решения.

При $a \in (0; +\infty)$ – одно решение.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 0)$