Числа и их свойства

Введём следующие обозначения:

$a$ – количество овощей, масса которых меньше 1000г.

$b$ – количество овощей, масса которых равна 1000г.

$c$ – количество овощей, масса которых больше 1000г.

По условию задачи, средняя масса всех овощей равна 1000г.

Сумма масс овощей равна произведению их средней массы и количества.

Тогда:

$S_a = a\cdot982$ – сумма масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г.

$S_b = b\cdot1000$ – сумма масс овощей, масса каждого из которых равна 1000г.

$S_c = c\cdot1024$ – сумма масс овощей, масса каждого из которых больше 1000г.

$$s = \frac{S_a + S_b + S_c}{65} = 1000 (\text{ средняя масса всех овощей})$$

Тогда сумма масс всех овощей равна: $$S_0 = S_a + S_b + S_c = 65000 \quad (*)$$

а) $a = c$. По условию в ящике всего 65 овощей, поэтому: $a + b + c = 65 \Leftrightarrow b + 2c = 65 \Leftrightarrow b = 65 - 2c$.

Подставим в уравнение $(*)$:

$$(65 - 2c)\cdot1000 + 982c + 1024c = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 65000 - 2000c + 982c + 1024c = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 6c = 0 \Leftrightarrow c = 0$$

Это противоречит условию задачи, так как количество овощей, масса которых больше 1000г есть, потому что их средняя масса равна 1024г.

Ответ – нет.

б) $b = 13$. Тогда: $a + 13 + c = 65 \Leftrightarrow c = 52 - a$

Подставим значения $c$ и $b$ в уравнение $(*)$: $$982a + 13000 + 1024\cdot(52 - a) = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 982a + 13000 + 53248 - 1024a = 65000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -42a + 66248 = 65000 \Leftrightarrow 42a = 1248 \Leftrightarrow 21a = 624 \Leftrightarrow 7a = 208$$ $$a = \frac{208}{7} \text{ нецелое число}$$ Получаем противоречие, так как количество овощей выражается целым числом $\Rightarrow$ ответ – нет.

в) Так как нас просят найти наименьшую возможную массу овоща в ящике, то логично будет отталкиваться от данных о средней массе овощей, масса которых меньше 1000г (так как она связана с овощами, которые имеют наименьшие массы в ящике).

Обозначим за $d$ массу наименьшего овоща в ящике.

$$\frac{S_a}{a} = 982$$

Тогда если мы хотим, чтобы $d$ было минимальным, нужно чтобы при фиксированном значении суммы масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г ($982a$), остальные овощи имели наибольшую возможную массу.

Наибольшая возможная масса овоща, которая меньше 1000г и выражается целым число – это $1000- 1 = 999$г.

Тогда средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000г не больше чем: $$\frac{d + 999(a - 1)}{a} \geq 982 \Leftrightarrow d + 999a - 999 \geq 982a \Leftrightarrow d \geq 999 - 17a$$

Из уравнения $(*)$ получимследующее соотношение: $$982a + 1000b + 1024c = 65000 = 1000\cdot(a + b + c) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 1000a - 982a + 1000b - 1000b + 1000c - 1024c = 0 \Leftrightarrow 18a - 24 c = 0$$ $$4c = 3a$$

Выходит, что нам необходимо найти максимально возможное значение $a$, которое удовлетворяет условиям задачи. В частности в уравнении $4c = 3a$ при подстановке значения $a$ должно получаться целое значение $c$. При этом $a$ должно быть кратно $4$ ($c = \tfrac{3}{4}a$)

Найдём максимальное значение $a$, при котором количество овощей равно 65.

При $a = 36 \quad \vdots \quad 4$, $c = 27$. Тогда $36 + b + 27 = 65 \Leftrightarrow b = 2$

При значениях $a > 36$, мы будем получать отрицательные значения $b$, чего быть не может.

Найдём наименьшую возможную массу овоща в ящике: $$d \geq 999 - 17\cdot36 = 387$$

Приведём пример для $d = 387$. Пусть в ящике лежит 35 овощей с массой 999 г, 1 овощь с массой 387г, 27 овощей с массой 1024г и 2 овоща с массой ровно 1000г. $$35\cdot999 + 387 + 27\cdot1024 + 2\cdot1000 = 65000$$

При этом все остальные соотношения также выполнены.

Ответ: а) нет. б) нет. в) 387.

Введём следующие обозначения:

$a$ – количество овощей, масса которых меньше 1000г.

$b$ – количество овощей, масса которых равна 1000г.

$c$ – количество овощей, масса которых больше 1000г.

По уловию задачи, средняя масса всех овощей равна 1000г.

Сумма масс овощей равна произведению их средней массы и количества.

Тогда:

$S_a = a\cdot988$ – суммма масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г.

$S_b = b\cdot1000$ – суммма масс овощей, масса каждого из которых равна 1000г.

$S_c = c\cdot1030$ – суммма масс овощей, масса каждого из которых , больше 1000г.

$$s = \frac{S_a + S_b + S_c}{73} = 1000 (\text{ средняя масса всех овощей})$$

Тогда сумма масс всех овощей равна: $$S_0 = S_a + S_b + S_c = 73000 \quad (*)$$

a) $a = c$. По условию в ящике всего 73 овоща, поэтому: $a + b + c = 73 \Leftrightarrow b + 2c = 73 \Leftrightarrow b = 73 - 2c$.

Подставим в уравнение $(*)$:

$$(73 - 2c)\cdot1000 + 988c + 1030c = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 73000 - 2000c + 988c + 1030c = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 18c = 0 \Leftrightarrow c = 0$$

Это противоречит условию задачи, так как количество овощей, масса которых больше 1000г есть, потому что их средняя масса равна 1030г.

Ответ – нет.

б) $b = 11$. Тогда: $a + 11 + c = 73 \Leftrightarrow c = 62 - a$

Подставим значения $c$ и $b$ в уравнение $(*)$: $$988a + 11000 + 1030\cdot(62 - a) = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 988a + 11000 + 63860 - 1030a = 73000 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow -42a + 74860 = 73000 \Leftrightarrow42a = 1860 \Leftrightarrow21a = 930 \Leftrightarrow 7a = 310$$ $$a = \frac{310}{7} \text{ нецелое число}$$ Получаем противоречие, так как количество овощей выражается целым числом $\Rightarrow$ ответ – нет.

в) Так как нас просят найти наименьшую возможную массу овоща в ящике, то логично будет отталкиваться от данных о средней массе овощей, масса которых меньше 1000г (так как она связана с овощами, которые имеют наименьшие массы в ящике).

Обозначим за $d$ массу наименьшего овоща в ящике.

$$\frac{S_a}{a} = 988$$

Тогда если мы хотим, чтобы $d$ было минимальным, нужно чтобы при фиксированном значении суммы масс овощей, масса каждого из которых меньше 1000г ($988a$), остальные овощи имели наибольшую возможную массу.

Наибольшая возможная масса овоща, которая меньше 1000г и выражается целым число – это $1000- 1 = 999$г.

Тогда средняя масса овощей, масса каждого из которых меньше 1000г не больше чем: $$\frac{d + 999(a - 1)}{a} \geq 988 \Leftrightarrow d + 999a - 999 \geq 988a \Leftrightarrow d \geq 999 - 11a$$

Из неравенства видно, что чем больше значение $a$, тем меньше значение $d$, что нам и нужно. Тогда необходимо найти наибольшее возможное значение $a$, удовлетворяющее условиям задачи.

Вернёмся к уравнению $(*)$ и преобразуем его: $$988a + 1000b + 1030c = 73000 \Leftrightarrow 988a = 10(7300 - 100b - 103c) \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 988\cdot\frac{a}{10} = 7300 - 100b - 103c \Leftrightarrow 494\cdot\frac{a}{5} = 7300 - 100b - 103c (**)$$ Отсюда видно, что $a$ кратно 5.

По условию $a < 72$, так как в ином случае средние массы овощей с массами $\geq 1000$ г были бы нулевыми.

Тогда начнём уменьшать значение $a$ начиная с 70, при условии что оно будет кратно 5.

$a = 70$.

Подставим в уравнение $(**)$: $$494\cdot\frac{70}{5} = 7300 - 100b - 103c \Leftrightarrow 100b + 103c = 7300 - 6916 = 384$$ Представим левую и правую части уравнения в виде: $$3c + 100b + 100c = 300 + 84 \Leftrightarrow 3c - 84 = 100(3 - b - c)$$ Откуда видно, что $3c - 84$ должно быть кратно 100.

Если расписать аналогичным образом случаи, когда $a = 65; a = 60; a = 55;$, то мы получим случаи: $3c - 78$, $3c - 72$, $3c - 66$, которые также будут кратны 100.

Соответственно, начиная от случая $a = 55$ и до случая, когда $a = 70$, мы будем получать отрицательные значения $b$ при подстановке в уравнение $988\cdot\frac{a}{5} + 100b + 103c = 73000$.

Например, для случая $a = 55, 3c - 66 = 100(18 - b - c)$. Отсюда $c = 22$ минимум, но тогда: $$0 = 18 - b - 22 \Leftrightarrow b = -4$$

В случае же, когда $a = 50$, мы получаем следующую ситуацию: $$4940 = 7300 - 100b - 103c \Leftrightarrow 100b + 103c = 2360 \Leftrightarrow3c - 60 = 100(23 - b -c)$$ Отсюда минимальное значение $c$ может быть равно 20. Тогда: $$0 = 100(23 - b - 20) \Leftrightarrow b = 3$$ Мы получили максимальное значение $a$, которое удовлетворяет условиям задачи. $$d \geq 999 - 11\cdot50 = 449 \Leftrightarrow d \geq 449$$ Откуда минимальное значение $d$ равно 449.

Ответ: а) нет. б) нет. в) 449.

а) У нас два эксперта, так как рейтинг фильма это среднее геометрическое двух оценок, то есть $\sqrt{a_1 \cdot a_2}$. Чтобы рейтинг был целым числом, произведение $a_1 \cdot a_2$ должно быть точным квадратом. Для двух различных чисел от 1 до 10 возможны только четыре различных произведения, дающие целые корни: 4, 9, 16, 36. Значит, два эксперта могут оценить не более 4 фильмов с различными целыми рейтингами. Другие квадраты, такие как: 1, 25, 49, 64, 81 в виде двух различных целых чисел от 1 до 10 не представляются, а значит нам не подойдут.

б) Рассмотрим ситуацию, в которой фильмы получили следующие оценки:

Первый: 1, 2, 4

Второй: 1, 3, 9

Третий: 2, 4, 8

Четвертый: 4, 6, 9

Заметим, что среднее геометрическое этих наборов это различные целые числа. Значит 3 эксперта и 4 кинофильма возможны.

в) Если выбрать оценки 3, 6, 8 и 9, то среднее геометрическое этих чисел даёт целое число 6, поэтому задача выполняется для четырёх экспертов.

При попытке увеличить число экспертов до пяти или больше сталкиваемся с проблемой: произведение всех оценок должно быть точной степенью числа, равной количеству экспертов. Но произведение всех чисел от 1 до 10 (10!) делится только на две пятые степени $1^5$ и $2^5$. Таким образом, для пяти и более экспертов целый рейтинг мог бы быть либо 1, либо 2. Рейтинг 1 невозможен, так как все оценки должны быть различны, а рейтинг 2 требует, чтобы все оценки были степенями двойки (1, 2, 4, 8), что даёт максимум четыре оценки.

Следовательно, максимальное число экспертов — 4.

Ответ: а) Нет; б) Да; в) 4.

а) Нет, не вырастет. $n$ — количество учеников в первой школе, $S$ — средний балл в первой школе, $nS$ — сумма баллов в первой школе. Значит, $n-1$ стало, следовательно, стало $2S$. Получаем, $2S(n-1) - nS = S(2n-2) - nS = S(2n-2-n) = S(n-2)$. Так как $n \ge 2$, то $S(n-2) \ge 0$. Разность не отрицательна, значит, противоречие, так как должна быть отрицательной.

б) 1 школа — учеников стало $n-1$, значит, стало среднее $1,1S$, следовательно $(n-1) \cdot 1,1S$ — баллов стало. $nS-(n-1) \cdot 1,1S = S(n-1,1n+1,1) = S(1,1-0,1n)$ — столько баллов у ушедшего ученика.

2 школа — $(51-n)$ было количество учеников, стало $52-n$, средний балл был 1, стало 1,1. Получаем уравнение: $$(51-n) + S(1,1-0,1n) = (52-n) \cdot 1,1 \leftrightarrow S(1,1-0,1n) = 57,2 - 1,1n - 51 + n \leftrightarrow 1,1S - 0,1Sn = 6,2 - 0,1n \leftrightarrow \newline \leftrightarrow 1,1S - 6,2 = 0,1n(S-1) \leftrightarrow 11S - 62 = n(S-1) \leftrightarrow n = \frac{11S - 62}{S-1} = 11 - \frac{51}{S-1},$$ нам подходят $S : 2,4,18,52$ для натурального $n$. Нам не подходят все числа для $S$ в формуле $S(1,1-0,1n)$, следовательно, такое быть не может.

в) Пусть $T$ — средний балл во 2-ой школе. Допустим, что был $T$, а стало $1,1T$, тогда получим формулу: $$(51-n) \cdot T + S(1,1-0,1n) = (52-n) \cdot 1,1T \leftrightarrow 1,1S - 0,1Sn = 6,2T - 0,1nT \leftrightarrow 11S - Sn = 62T - nT \leftrightarrow S(11-n) = T(62-n) \leftrightarrow \newline \leftrightarrow 11S - 62T = Sn - nT \leftrightarrow 11S - 62T = n(S-T) \leftrightarrow n = \frac{11S - 62T}{S-T} = 11 - \frac{51}{S-T},$$

пусть $T = 2$, тогда: $n = 11 - 51 \cdot \frac{2}{S-2}$ значения $S$ для натурального $n: 3,4,5,8,19,36,53,104$, так как $n \geq 2$, то отпадают значения $3,4,5,8$. Остальные не подходят под формулу $S(1,1-0,1n)$. Возьмем $T = 3$, тогда $n = 11 - 3 \cdot 3 \cdot \frac{3}{S-3}$, для него подходят $S: 4,6,12,20,24$. Из данного набора нам подходит число 20, так же подходит для формулы $S(1,1-0,1n)$. Тогда было 2 человека: 22 и 18, а во второй школе было 49 по 3. Тогда получаем формулу: $\frac{49T+18}{50} = 1,1T \leftrightarrow 49T + 18 = 5,5T \leftrightarrow T = 3$.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 3.

а) Пусть $x$ — число положительных чисел, $y$ — число отрицательный, а $z$ — число нулей. Тогда $$(x+y+z) \cdot (-3) = 0 + 4x - 8y$$ $$(x+y+z)\cdot(-3) = 4(x-2y)$$ Заметим, что правая часть равенства делится на 4, тогда и левая должна делиться на 4. На интервале (40; 48) подойдет только число 44.

б) $$(x+y+z)\cdot(-3) = 4(x-2y)$$ $$-3x-3y-3z=4x-8y$$ $$5y = 7x+3z$$ $$y=\dfrac{7}{5}x+\dfrac{3}{5}z$$ Получили, что $y>x$, значит, отрицательных чисел больше.

в) Из пункта а) знаем, что чисел на доске 44. Тогда $$44 \cdot (-3) = 4(x-2y)$$ $$x=2y-33, \text{\; значит } y>16$$ Кроме того, $x+y \leq 44$.

Если $y=24$, то $x=15$, $x+y = 39$.

Если $y=25$, то $x=17$, $x+y = 42$.

Если $y=26$, то $x=19$, $x+y = 45 > 44$.

Значит, $x=17$ — максимальное количество положительных чисел.

Пусть на доске написано $17$ раз число $4$, $25$ раз написано число $-8$ и два раза написан $0$. $$\dfrac{4\cdot17 - 8\cdot25}{44}=-3$$

Ответ: а) 44; б) Отрицательных; в) 17.