Числа и их свойства

а) Пусть на доске было написано десять чисел, равных 11 и десять единиц. Их среднее арифметическое — 6. Тогда если из каждого числа вычесть единицу, то на доске останутся только числа равные 10, их среднее арифметическое равно 10.

б) Сумма чисел, которые написаны на доске изначально, равна $20 \cdot 27 = 540$. Числа могут уменьшить на единицу, значит среднее арифметическое может уменьшиться максимум на 20, значит, это число будет лежать в промежутке $[520;539]$. На нем чисел, кратных 34, нет. Следовательно, среднее арифметическое оставшихся чисел не может равняться 34.

в) Пусть $x$ — количество написанных на доске единиц изначально, которые потом перепишут в нули, а $y$ — количество прочих уменьшаемых чисел. Рассмотрим все те числа, которые не станут нулями, их $20-x$, а сумма их равна $540-x$. После всех операций среднее арифметическое оставшихся чисел будет равно $$d =\dfrac{540-x-y}{20-x}$$ Стоит задача найти максимальное $d$, очевидно, что в таком случае $y=0$ (минимален). $$\dfrac{540-x}{20-x}=1+\dfrac{520}{20-x}$$ Следовательно, нужно максимизировать $x$.

Можем оценить сумму изначальных чисел $$540 \le x+40(20-x)$$ $$540 \le 800-39x$$ $$x\le 6\dfrac{26}{39}$$ Значит, $x_{max}=6$. Получим, что $1+\dfrac{520}{20-6}=38\dfrac{1}{7}$. Пусть на доске было написано шесть чисел 1, число 14 и тринадцать чисел 40. Единицу вычтем только из шести единиц, получим $\dfrac{14+13\cdot40}{14}=38\dfrac{1}{7}$

Ответ: а) Да; б) Нет; в) $38\dfrac{1}{7}$.

а) Рейтинг футболиста был равен 41, тогда за него проголосовало 7 человек, так как $\dfrac{6}{17} \approx 0,353,\; \dfrac{7}{17} \approx 0,412,\; \dfrac{8}{17} \approx 0,471$. После того, как Вася проголосовал за другого, то доля голосов за первого футболиста стала равна $\dfrac{7}{18} \approx 0,388$. Значит, его рейтинг стал равен 39.

б) Пусть за каждого из 133 футболистов проголосовали всего 1 раз, за оставшегося футболиста — 67 раз. Тогда всего голосов 200, рейтинг у каждого из 133 будет равен $\dfrac{1}{200}=0,005$, после округления рейтинг станет равен единице, а у оставшегося $\dfrac{67}{200}=0,335$, после округления рейтинг его будет равен 34. Сумма всех рейтингов равна $133 + 34=167$

Если Вася проголосует за последнего футболиста, то его рейтинг останется прежним, но у остальных после округления он станет равен 0. Тогда сумма рейтингов станет равна $34$, а значит, сумма изменилась на $133 > 27$.

в) Начиная с 0,5% округление происходит в большую сторону. Если все 134 игрока имеют в дробной части рейтинга 0,5%, то при округлении получим дополнительных 134 единиц рейтинга, значит, сумма рейтингов всех футболистов может отличаться от 100 не более чем на $0,5 \cdot134=67$. Тогда сумма всех рейтингов не превосходит $100+67=167$. Пример, приведенный в пункте б) подходит нам. Значит, 167 — максимальное значение суммы рейтингов всех футболистов

Ответ: а) 39; б) Да; в) 167.

а) Пусть Вася в первый день решил $a$ задач, а Петя $b$ задач. В $n$-ый день Вася решит $a+n-1$ задачу, а всего он решит $\dfrac{2a+n-1}{2} \cdot n$ задач. Петя в $m$-ый день решит $b+2(m-1)$ задач. А всего $\dfrac{b+2(m-1)+b}{2} \cdot m$.

Если всего задач 85, тогда $$\dfrac{2a+n-1}{2}\cdot n = 85 \quad \Rightarrow \quad (2a+n-1)\cdot n = 17\cdot5\cdot2$$ При $n=2$ и $a=42$ уравнение имеет решение, проверим для Пети $$\dfrac{2b+2m-2}{2}\cdot m = 85 \quad \Rightarrow \quad (b+m-1)\cdot m = 17\cdot 5$$ При $m=5$ и $b=13$ уравнение также имеет решение. Значит в сборнике могло быть 85 задач

б) $n>3, \; m>3$, тогда для Пети получим $$(b+m-1)\cdot m = 213 \quad \Rightarrow \quad (b+m-1)\cdot m = 71 \cdot 3$$ Значит $m$ — делитель 213, но 213 имеет всего 2 делителя: 71 и 3, так как равняться трем $m$ не может, а 71 — простое, то $m=71$ или $m=213$. В обоих случаях $b<0$, значит, в сборнике 213 задач быть не может.

в) Так как задач меньше 300, то для Пети $$300 > (b+m-1)\cdot m \ge (1+m-1)\cdot m = m^2 \quad \Rightarrow \quad m^2 <300$$ Значит, наибольшее $m$ равно 17: $(b+17-1)\cdot 17 <300$, тогда $b=1; S=289$. Проверим для Васи $$\dfrac{2a+16-1}{2}\cdot16=289$$ $$(2a+15)\cdot 8 = 289$$ Так как левая часть кратна 8, а правая нет, то $m$ не может равняться 17.

Пусть $m=16$. $(b+15)\cdot16=(2a+15)\cdot8 \quad \Rightarrow \quad (b+15)\cdot2 = 2a+15$. Заметим, что левая часть кратна двум, а правая нет, значит, $m=16$ не может быть.

Пусть $m=15$. $(b+14)\cdot15=(2a+15)\cdot8$. Левая часть кратна 15, правая кратна при $a\ge 15$, но при этом $S$ станет больше, чем 300. Значит, $m=15$ — невозможно.

Пусть $m=14$. $(b+13)\cdot14=(2a+15)\cdot8 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{b+13}{4}=\dfrac{2a+15}{7}$. При $b=7$ и $a=10$ уравнение имеет решение, тогда $$S=(7+13)\cdot14=(2\cdot10+15)\cdot8 = 280$$ Значит, максимальное $m$ равно 14.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 14.

а) Да, может: $a_1=70, \; a_2 = 140,\; a_3 =42\; a_4=84, \; a_5=168$.

б) $a_{100}=75$ — нечетное, тогда $a_{99}=173$ — также нечетное, $a_{98}=271$ — нечетное. Все числа данной последовательности будут нечетными (нечетное + четное = нечетное). Тогда $$a_1 = 75+98\cdot 99 = 9777$$

в) Заметим, что если в цепочке есть два раза подряд вычитание по 98, наименьшее значение для наибольшего члена последовательности — 197. Рассмотрим цепочку, в которой первый член $a_1 = 1$, тогда в последовательности появится число 128, так как до этого можно только умножать на 2. Продолжим рассуждения для других вариантов последовательностей, $$a_1 = 2 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 3 \rightarrow 192$$ $$a_1 = 4 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 5 \rightarrow 160$$ $$a_1 = 6 \rightarrow 192$$ $$a_1 = 7 \rightarrow 112$$ $$a_1 = 8 \rightarrow 128$$ $$a_1 = 9 \rightarrow 144$$ $$a_1 = 10 \rightarrow 160$$ Построим последовательность для $a_1=7$: $$7 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow 56 \rightarrow 112 \rightarrow 14 \rightarrow 28 \rightarrow\; ...$$ То есть 112 — наибольший член последовательности.

Если бы $a_n \le 98$, то тогда в нашей цепочке, начиная с первого умножения на 2, ни разу не вычиталось 98. Следовательно, с этого момента были только умножения на 2. Но тогда, очевидно, нашелся бы член последовательности, который больше 112. Кроме того, можно заметить, что так как $a_n$ — наибольший член, то предыдущее число было $\dfrac{a}{2}$, значит, $a$ — четное.

Таким образом, возможные меньшие $a$ могут быть только: 100, 102, 104, 106, 108 и 110.

Для чисел 100, 102 и 106 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=1$, ее разбирали выше, в ней есть число 128.

Для чисел 104 и 110 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=6$, в ней есть число 192

Для числа 108 после вычитания 98 будем попадать в цепочку, в которой $a_1=10$, в ней есть число 160.

Таким образом, наибольший член в последовательности меньше 112 быть не может

Ответ: а) Да; б) 9777; в) 112.

а) Да, может: $a_1=1, \; a_2 = 2,\; a_3 =3\; a_4=4$ $1+2+3+4=10$

б) Пусть $a$ — первый член прогрессии, $S_n$ — сумма ее членов, $d$ — разность прогрессии. Тогда $$S_n = \dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n$$ Для суммы членов арифметической прогрессии верно неравенство $$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n \ge \dfrac{2+(n-1)}{2}\cdot n = \dfrac{n(n+1)}{2}$$ Тогда $$\dfrac{n(n+1)}{2} < 1000 \quad \Rightarrow \quad n(n+1)<2000 \quad \Rightarrow \quad n\le 44$$ Найдем сумму арифметической прогрессии для $a_1=1, d=1, n=44$: $$\quad S_n =\dfrac{2+(44-1)\cdot1}{2}\cdot44=990<1000$$

в) $S_n=129$, тогда $$\dfrac{2a+(n-1)d}{2}\cdot n = 129$$ $$(2a+d(n-1))n = 258 = 2 \cdot 3 \cdot 43$$ Значит, $n$ — делитель числа 258. Тогда $n$ может равняться: 2, 3, 6, 43, 86, 129, 258.

Если $n\ge 43$, то $(2a+d(n-1))n\ge44\cdot43 > 258$, тогда $n$ может быть: 2, 3 или 6

Из условия $n\ge 3$, значит $n=3$ или $n=6$. Такие последовательности есть: $$n=3: \quad 42+43+44=129$$ $$n=4: \quad 19+20+21+22+23+24=129$$

Ответ: а) Да; б) 44; в) 3,6.