Числа и их свойства

а) Да, может: $a_1=-1, \; a_2 = 0,\; a_3 =1\; a_4=2, \; a_5=3,\; a_6=4$.

$-1+0+1+2+3+4=9$

б) $$S = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n = 2 \quad \Rightarrow \quad (a_1+a_n)\cdot n = 4$$ Из условия $n\ge 5$, значит такое невозможно.

в) $$S = \dfrac{a_1+a_n}{2}\cdot n \quad \Rightarrow \quad (a_1+a_n)\cdot n = 2S \quad \Rightarrow \quad (a_1+a_n)=\dfrac{2S}{n}$$ Из предыдущего пункта $S \neq 2$ и $n\ge 5$. Аналогично, не трудно показать, что $S$ не может равняться $-2$ и $\pm1$. При этом $S$ может равняться нулю: $$-2 + (-1) + 0 +1 +2= 0$$ Таким образом, $S$ может принимать любые значения, кроме -2, -1, 1 и 2.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) Любые целые значения, кроме: -2, -1, 1, 2.

а) Пусть $a$ — член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — число членов. $$a_1+a_n=99 \quad \Rightarrow \quad a_5=a_1+4d$$ $$a_1+a_1+4d = 99 \quad \Leftrightarrow 2a_1+4d = 99$$ Левая часть уравнения кратна двум, а правая часть не кратна двум, соответственно, такого быть не может.

б) $$a_1+a_6 = 6$$ $$a_1+ a_1 + 5d = 9$$ $$2a_1+5d=9 \quad \Rightarrow \quad d=\dfrac{9-2a_1}{5}$$ Все члены прогрессии натуральные, значит $a_1=2$ и $d=1$, иначе $d$ не натуральное. Тогда прогрессия имеет вид: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

в) $a_n = a_1 + d(n-1)$ $$\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2}=6,5$$ $$2a_1+d(n-1)=13$$ $$n=\dfrac{13-2a_1}{d}+1$$ $n$ будет наибольшим, при $a_1$ и $d$ минимальных, значит, $d=1, a_1=1$. Следовательно, $n\le 12$. При $n=12$ получим прогрессию: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Ответ: а) Нет; б) 2, 3, 4, 5, 6, 7; в) 12.

а) Да, может, например, $-6+(-4)+(-2)+0+2+4+6+8=8$.

б) $$\dfrac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n = 1$$ $$(2a_1+d(n-1))\cdot n = 2$$ Получили, что $n$ делитель 2, это противоречит условию $n\ge 3$.

в) Аналогично прошлому пункту можно показать, что $S=-1$ также не может быть. $$\dfrac{a_1+a_1+d(n-1)}{2}\cdot n = -1$$ $$(2a_1+d(n-1))\cdot n = -2$$ Равняться нулю $S$ может, например, $-1, 0, 1$. Любые другие значения, кроме $-1$ и $1$, $S$ принимать может.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) Любые целые значения, кроме $-1$ и $1$.

а) Пусть $b$ — первый член прогрессии, $q$ — делитель. Получим $$b \cdot bq \cdot bq^2\cdot bq^3 \cdot bq^4=b^5q^{10} = 1512=2^3\cdot3^3\cdot7$$ 1512 не является корнем 5-ой степени, значит такого быть не может.

б) $$b\cdot bq \cdot bq^2\cdot bq^3 \cdot x=1512$$ $$b^4 \cdot q^6 \cdot x = 2^3\cdot3^3\cdot7$$ Так как слева четвертая степень есть, а справа максимальная степень — 3, то при целых $q$ такого быть не может. Если $q= \dfrac{m}{n};\; m, n \in \mathbb N$. Тогда $bq^3\in \mathbb N \Rightarrow b\; кратно \;n^3$. Значит, $b^4\; кратно \; n^{12} \Rightarrow b^4q^6\cdot x \; кратно \; n^6$. Это невозможно, поскольку разложение числа 1512 не содержит шестых степеней простых сомножителей отличных от 1.

в) $$b\cdot bq \cdot bq^2\cdot x \cdot y=1512$$ $$b^3xy=2^3\cdot3^3\cdot7$$ Пусть $b=6, x=7, y=1$. И пусть $q=2$. Тогда получим: 3, 6, 12, 7, 1.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) Да.

а) Да, может, $\dfrac{209}{2} + \dfrac{210}{2} + \dfrac{211}{2} + \dfrac{212}{2} = 421$.

б) Заметим, что числа в последовательности не могут быть трехзначными, если $S=9,2$, так как $S>4\cdot \dfrac{100}{10}=40$. Для оценки мы взяли минимальное трехзначное и следующее натуральное число после наибольшей цифры 9. Кроме того, все числа в последовательности не однозначные, так как тогда бы $S$ равнялось четырем. Если в последовательности есть число 10, тогда к сумме $S$ прибавилось бы $\dfrac{10}{1}=10$, что уже больше, чем 9,2. Чтобы получить наименьшее $S$ из двухзначных чисел, нам нужна наименьшая цифра в разряде десятков и наибольшая в разряде единиц, это достигается при такой последовательности: 16, 17, 18, 19. Тогда $$S = \dfrac{16}{6} + \dfrac{17}{7} + \dfrac{18}{8} + \dfrac{19}{9} = 9 \cdot \dfrac{115}{252} > 9,2$$ Значит, $S=9,2$ быть не может

в) Рассмотрим последовательность: 916, 917, 918, 919. Тогда $S=916+917+918+919=3670$. Докажем, что большее $S$ быть не может. В данный последовательности каждое из чисел больше 900, значит последовательности, числа в которых начинаются не с 9 нам не подойдут. Все числа в последовательности должны иметь цифру 1, так как иначе даже $$\dfrac{992}{2} < 900$$ То есть, сумма для $S$ значительно уменьшается, соответственно лучшая ситуация, та, при которой числа последовательности начинаются с 9, в разряде десятков имеют единицу, а в разряде единиц стоят максимально возможные цифры, что и достигается в последовательности: 916, 917, 918, 919

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 3670.