Числа и их свойства

а) Рассмотрим число 810, частное числа и суммы его цифр: $\dfrac{810}{9}=90$. Значит, да, может.

б) Пусть $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Тогда $$100a+10b+c = 88a+88b+88c$$ $$12a=78b+87c$$ $$4a=26b+29c$$ Левая часть уравнения делится на 2, значит и правая часть должна делиться. $26b$ делится на 2, $29c$ должно делиться на 2, возможно при $c$ равном 0, 2, 4, 6, 8. При всех возможных $c$ нет такого $a$, удовлетворяющего уравнению.

в) $\overline{abc}=100a+10b+c$, тогда $\dfrac{100a+10b+c}{a+b+c}=x$, $x$ — наибольшее натуральное значение. $$a(100-x)+b(10-x) + c(1-x) = 0$$ $b+c>0$, значит: $$9(100-x) \ge (100-x)a = (x-10)b + (x-1)c \ge (x-10)(b+c) \ge x-10$$ Значит $$9(100-x) \ge x-10 \quad \Leftrightarrow \quad 10x \le 910 \quad \Leftrightarrow \quad x \le 91$$ Рассмотрим число 910, частное этого числа и суммы его цифр равно 91.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 91.

а) Рассмотрим число 117, частное числа и суммы его цифр: $\dfrac{117}{9}=13$. Значит, да, может.

б) Пусть $\overline{abc} = 100a + 10b + c$. Тогда $$100a+10b+c = 6a+6b+6c$$ $$94a+4b=5c$$ Так как $a$ как минимум 1, то левая часть уравнения не меньше 94. Заметим, что $c \le 9$, тогда правая часть максимум 45. Значит, уравнение не имеет решений.

в) $a=6$, тогда $$\dfrac{\overline{6bc}}{6+b+c}=x$$ $x$ — наибольшее натуральное значение.
Пусть $c=0$, тогда $$\dfrac{600+10b}{6+b}=x$$ $$x=\dfrac{10(6+b)+540}{6+b}=10+\dfrac{2^2\cdot3^3\cdot5}{6+b}$$ Так как $b \neq 0$ и $x$ — натуральное, тогда минимально возможное $b$ равно трем. Отсюда $$x=10+\dfrac{4\cdot 27 \cdot5}{9}=70$$ При $b>3$ получим, что $x<70$. Пусть $b=0$ $$x=\dfrac{600+c}{6+c}=1+\dfrac{2\cdot3^3\cdot11}{6+c}$$ Получаем, что $c=3$ и $x=67$. Пусть $b=1$ $$x=\dfrac{610+c}{7+c}=1+\dfrac{9\cdot67}{7+c}$$ Получаем, что $c=2$ и $x=68$. Если $c\ge 1$ и $b \ge 2$, то $$600 + 10b + c = 6x + bx + cx$$ $$600 = 6x+b(x-10)+c(x-1) \ge 6x +2(x-10) + (x-1) = 9x-21$$ Получим, что $x\le 69$. Значит, наибольшее $x$ будет равным 70, это выполняется для числа 630.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 70.

а) Возьмем самое большое $A=999$, сумма цифр равна 27. Тогда $27\cdot 999 = 26973 < 28000$. Значит, такое невозможно.

б) $S \le 27$, максимальное $A$ это 999, сумма цифр 27. Число 2971 не кратно ни одному простому число до 27 включительно, значит и никакому число до 27, кроме 1. Тогда $S=1$, что также невозможно.

в) Начнём проверять перебором числа в порядке убывания, начиная с 5996.

$A \cdot S = 5996 = 4 \cdot 1499$ — невозможно.
$A \cdot S = 5995 = 5 \cdot 11 \cdot 109$. Получим, что $A$ кратно $109$, значит, $A = 109 \cdot 5 = 545$. Отсюда, $S = 14$, но $545 \cdot 14\neq5995$.
$A \cdot S = 5994 = 2 \cdot 3^4 \cdot 37$. Получим, что $A$ кратно $37$, значит, $A = 222$, $A = 333$, $A = 666$. Далее:

Если $A = 222$, то $S = 6$, не подходит.

Если $A = 333$, то $S = 9$, не подходит.

Если $A = 666$, то $S = 18$, не подходит.
$A \cdot S = 5993 = 13 \cdot 461$, значит, $A = 461$, тогда $S = 11$, невозможно.
$A \cdot S = 5992 = 14 \cdot 428$, значит, $A = 428$, тогда $S = 14$, подходит. Значит, $S = 14$ и $A = 428$. Их произведение $14 \cdot 428 = 5992$.

Ответ: а) Нет; б) Нет; в) 5992.

а) Пусть на доске написаны числа: 166, 6, 1. Тогда$$166+6+1=173$$ Значит, да, может.

б) Можем использовать только числа: 1, 6, 11, 16, 61, 66. Взять 61 и 66 одновременно не можем $$61+66=127>109$$ А если взять все остальные и 66, то получим $$1+6+11+16+66=100 < 109$$ Значит, 109 получить не можем.

в) Все числа до 1021, которые мы можем использовать, это: $$1,\ 6,\ 11,\ 16,\ 61,\ 66,\ 111,\ 116,\ 161,\ 166,\ 611,\ 616,\ 661,\ 666$$ Заметим, что каждое число дает остаток 1, при делении на 5. 1021 также дает остаток 1 при делении на 5, значит чисел на доске может быть одно, шесть или одиннадцать, других вариантов нет.
Одно число нам не подойдет. Можем построить пример для шести чисел: $$1+11+16+161+166+666=1021$$ Значит, наименьшее количество чисел на доске — 6.

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 6.

а) Проделаем следующие шаги: $$65-3\cdot (6+5) = 32$$ $$32-3\cdot (3+2)=17$$ $$17+3\cdot (1+7) =41$$ Значит, да, могло.

б) Число и сумма его цифр дают одинаковые остатки при делении на 3, вычитая или прибавляя к числу утроенную сумму цифр, остаток от деления не изменится. 65 дает остаток 2 при делении на 3, а 43 дает остаток 1, значит, число 43 получиться не могло.

в) Наименьшее двузначное число, имеющее остаток 2, это 11. Его можем получить следующим образом $$65+3\cdot (6+5)=98$$ $$98 + 3\cdot (9+8) = 149$$ $$149-3\cdot (1+4+9) = 107$$ $$107 - 3\cdot (1+0+7) = 83$$ $$83-3\cdot (8+3) = 50$$ $$50-3\cdot (5+0)=35$$ $$35-3\cdot (3+5) = 11$$

Ответ: а) Да; б) Нет; в) 11.