Стереометрия

В равнобедренном треугольнике $SBC$ отрезок $SK$ — медиана и высота.

Площадь одной боковой грани: $$S_{SBC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 15$$

Общая площадь боковой поверхности: $$S_{бок} = 3 \cdot S_{SBC} = 3 \cdot 15 = 45$$

Площадь одной боковой грани: $$S_{SAB} = \frac{S_{бок}}{3} = \frac{45}{3} = 15$$

В равнобедренном треугольнике $SAB$ отрезок $SM$ — медиана и высота.

Находим длину $SM$: $$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SM$$ $$15 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot SM$$ $$SM = \frac{15 \cdot 2}{3} = 10$$

Найдем радиус описанной окружности основания: $$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{3} = 3$$

В правильной пирамиде высота h, радиус R и боковое ребро L образуют прямоугольный треугольник.

По теореме Пифагора: $$h = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25-9} = 4$$

Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия.

При увеличении всех линейных размеров в 2 раза: $$\frac{S_{нов}}{S_{стар}} = 2^2 = 4$$

Найдем апофему (высоту боковой грани): $$h = \sqrt{H^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$$

Площадь поверхности: $$S = a^2 + 4 \cdot \frac{1}{2}ah = 36 + 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 5 = 96$$