Стереометрия

Подставляем данные в формулу объема: $$6 = \frac{1}{3} \cdot 9 \cdot SO$$

Вычисляем высоту: $$SO = \frac{6 \cdot 3}{9} = \frac{18}{9} = 2$$

В правильной пирамиде $SO$ — высота, проекция вершины $S$ на центр основания.

Найдем половину диагонали основания: $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{18}{2} = 9$$

По теореме Пифагора в треугольнике $SOA$: $$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15$$

По теореме Пифагора в треугольнике $SOA$: $$OA = \sqrt{SA^2 - SO^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

Так как $O$ — центр квадрата: $$BD = 2 \cdot OA = 2 \cdot 8 = 16$$

Половина диагонали основания: $$CO = \frac{AC}{2} = \frac{30}{2} = 15$$

По теореме Пифагора: $$SD = \sqrt{SO^2 + CO^2} = \sqrt{8^2 + 15^2} = \sqrt{64 + 225} = \sqrt{289} = 17$$

Половина диагонали основания: $$AO = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

По теореме Пифагора: $$SO = \sqrt{SB^2 - AO^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$