Стереометрия

1. Площадь одной грани тетраэдра: $$S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

2. При увеличении ребра в 2 раза площадь грани увеличится в 4 раза, а вся поверхность - тоже в 4 раза.

1. Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия.

2. При увеличении ребер в 2 раза: $$\frac{V_{нов}}{V_{стар}} = 2^3 = 8$$

1. Найдем апофему: $$h = \sqrt{l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$$

2. Площадь поверхности: $$S = a^2 + \frac{1}{2}P \cdot h = 100 + \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 12 = 340$$

1. Запишем формулу объёма пирамиды: $$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}} \cdot h = \frac{1}{3}a^2 h$$

2. Для первой пирамиды: $$V_1 = \frac{1}{3}a_1^2 h_1 = 16$$

3. Для второй пирамиды: $$a_2 = 1.5a_1, \quad h_2 = 2h_1$$ $$V_2 = \frac{1}{3}a_2^2 h_2 = \frac{1}{3}(1.5a_1)^2 \cdot 2h_1$$

4. Упростим выражение: $$V_2 = \frac{1}{3} \cdot 2.25a_1^2 \cdot 2h_1 = 4.5 \cdot \left(\frac{1}{3}a_1^2 h_1\right)$$

5. Подставим значение $V_1$: $$V_2 = 4.5 \cdot 16 = 72$$

$$S_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 = \frac{\sqrt{3}}{4}$$ $$V = \frac{1}{3}S_{\text{осн}}h = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{3}{12} = 0.25$$