Вероятности сложных событий

1. Определим вероятности исходов одной игры:

• Выигрыш (В): $P(В) = 0,2$
• Проигрыш (П): $P(П) = 0,2$
• Ничья (Н): $P(Н) = 1 - 0,2 - 0,2 = 0,6$

1. Благоприятные исходы для двух игр, дающие не менее 8 очков:

• Два выигрыша: В+В = 5+5 = 10 очков
• Выигрыш и ничья: В+Н = 5+3 = 8 очков
• Ничья и выигрыш: Н+В = 3+5 = 8 очков

1. Вычислим вероятности каждого благоприятного исхода:

• $P(В,В) = 0,2 \times 0,2 = 0,04$
• $P(В,Н) = 0,2 \times 0,6 = 0,12$
• $P(Н,В) = 0,6 \times 0,2 = 0,12$

1. Общая вероятность: $$P = 0,04 + 0,12 + 0,12 = 0,28$$

1. Рассчитаем вероятность поражения цели для разного количества выстрелов:

• 1 выстрел: $P_1 = 0,2$
• 2 выстрела: $P_2 = 1 - (1-0,2)^2 = 1 - 0,64 = 0,36$
• 3 выстрела: $P_3 = 1 - (1-0,2)^3 = 1 - 0,512 = 0,488$
• 4 выстрела: $P_4 = 1 - (1-0,2)^4 = 1 - 0,4096 = 0,5904$
• 5 выстрелов: $P_5 = 1 - (1-0,2)^5 = 1 - 0,32768 = 0,67232$

1. Сравнение с требуемой вероятностью:

• Для 4 выстрелов: $0,5904 < 0,6$ — недостаточно
• Для 5 выстрелов: $0,67232 \geq 0,6$ — условие выполняется

Обозначим события:

• $A$ - кофе закончился в первом автомате
• $B$ - кофе закончился во втором автомате

По условию: $$\begin{align*} P(A) &= 0.1 \\ P(B) &= 0.1 \\ P(A \cap B) &= 0.03 \end{align*}$$

Найдем вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, то есть $P(\overline{A} \cap \overline{B})$.

Используем формулу вероятности объединения событий: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.1 + 0.1 - 0.03 = 0.17$$

Тогда вероятность противоположного события (кофе останется хотя бы в одном автомате): $$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0,17 = 0,83$$

Переберём все возможные варианты:

З - кофе закончился

Н - кофе не закончился

$$\text{З Н, ЗЗ, НЗ, НН}$$

По условию:

$P(\text{ЗН или ЗЗ}) = 0,01$

$P(\text{НЗ или ЗЗ}) = 0,01$

$P(\text{ЗЗ}) = 0,05$

Вероятности событий ЗН или ЗЗ и НЗ или ЗЗ уже учитывают событие ЗЗ. Поэтому, чтобы найти вероятность того, что кофе остался в обоих автоматах и не учитывать её дважды, вычтем её из суммы вероятностей ЗН или ЗЗ и НЗ или ЗЗ.

$$P(\text{ЗН или ЗЗ}) + P(\text{НЗ или ЗЗ}) - P(\text{ЗЗ})= 0,1 + 0,1 - 0,05 = 0,15$$

Мы нашли вероятность того, что кофе закончится хотя бы в 1 из автоматов. Тогда противоположное ему событие "кофе не закончится в двух автоматах (НН)" равно: $$P(\text{НН}) = 1 - 0,15 = 0,85$$

Решение 2 (круги Эйлера):

Пусть событие А – кофе закончился в 1 автомате.

Событие B – кофе закончился во 2 автомате.

Событие АB – кофе закончился в двух автоматах сразу.

На рисунке изображены области вероятностей событий. "Площади" областей событий A и B без двойного учёта их пересечения представляет собой область вероятности события "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов".

Найдём эту вероятность: $$P(\text{кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,1 + 0,1 - 0,05 = 0,15$$

Тогда всю остальную область занимает вероятность противоположного ему события "кофе останется в двух автоматах".

Тогда: $$P(\text{кофе останется в двух автоматах}) = 1 - P(\text{кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}) = 1 - 0,15 = 0,85$$

Переберём все возможные варианты:

З - кофе закончился

Н - кофе не закончился

$$\text{З Н, ЗЗ, НЗ, НН}$$

По условию:

$P(\text{ЗН или ЗЗ}) = 0,3$

$P(\text{НЗ или ЗЗ}) = 0,3$

$P(\text{ЗЗ}) = 0,12$

Вероятности событий ЗН или ЗЗ и НЗ или ЗЗ уже учитывают событие ЗЗ. Поэтому, чтобы найти вероятность того, что кофе остался в обоих автоматах и не учитывать её дважды, вычтем её из суммы вероятностей ЗН или ЗЗ и НЗ или ЗЗ.

$$P(\text{ЗН или ЗЗ}) + P(\text{НЗ или ЗЗ}) - P(\text{ЗЗ})= 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48$$

Мы нашли вероятность того, что кофе закончится хотя бы в 1 из автоматов. Тогда противоположное ему событие "кофе не закончится в двух автоматах (НН)" равно: $$P(\text{НН}) = 1 - 0,48 = 0,52$$

Решение 2 (круги Эйлера):

Пусть событие А – кофе закончился в 1 автомате.

Событие B – кофе закончился во 2 автомате.

Событие АB – кофе закончился в двух автоматах сразу.

На рисунке изображены области вероятностей событий. "Площади" областей событий A и B без двойного учёта их пересечения представляет собой область вероятности события "кофе закончится хотя бы в одном из автоматов".

Найдём эту вероятность: $$P(\text{кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}) = P(A) + P(B) - P(AB) = 0,3 + 0,3 - 0,12 = 0,48$$

Тогда всю остальную область занимает вероятность противоположного ему события "кофе останется в двух автоматах".

Тогда: $$P(\text{кофе останется в двух автоматах}) = 1 - P(\text{кофе закончится хотя бы в одном из автоматов}) = 1 - 0,48 = 0,52$$