Вероятности сложных событий

1. Определим вероятности исходов одной игры:

• Выигрыш (В): $P(B) = 0,3$
• Проигрыш (П): $P(\text{П}) = 0,3$
• Ничья (Н): $P(H) = 1 - 0,3 - 0,3 = 0,4$

1. Благоприятные исходы для двух игр, дающие не менее 4 очков:

• Два выигрыша: В+В = 3+3 = 6 очков
• Выигрыш и ничья: В+Н = 3+1 = 4 очка
• Ничья и выигрыш: Н+В = 1+3 = 4 очка

1. Вычислим вероятности каждого благоприятного исхода:

• $P(B,B) = 0,3 \times 0,3 = 0,09$
• $P(B,H) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$
• $P(H,B) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$

1. Общая вероятность: $$P = 0,09 + 0,12 + 0,12 = 0,33$$

1. Введем события:

• $H$ - пациент болен гепатитом ($P(H) = 0,05$)
• $\overline{H}$ - пациент здоров ($P(\overline{H}) = 1 - 0,05 = 0,95$)
• $+$ - положительный результат анализа

1. Вероятности положительного результата:

• Для больных пациентов: $P(+|H) = 0,9$
• Для здоровых пациентов: $P(+)|\overline{H}) = 0,01$

1. Полная вероятность положительного результата: $$P(+) = P(H) \cdot P(+|H) + P(\overline{H}) \cdot P(+)|\overline{H})$$ $$P(+) = 0,05 \times 0,9 + 0,95 \times 0,01$$ $$P(+) = 0,045 + 0,0095 = 0,0545$$

1. Вероятности событий:

• Попадание с первого выстрела: $P_1 = 0,7$
• Промах первого выстрела: $P_{\text{промах}} = 1 - 0,7 = 0,3$
• Попадание со второго выстрела (после промаха): $P_2 = 0,3 \times 0,7 = 0,21$

1. Общая вероятность поражения мишени: $$P = P_1 + P_2 = 0,7 + 0,21 = 0,91$$

Найдём искомую вероятность: $$0,98\cdot0,01 + 0,02\cdot0,99 = 0,0098+ 0,0198 = 0,0296$$

1. Общее количество фломастеров: $$9 + 4 + 12 = 25$$

2. Рассмотрим два благоприятных исхода:

• Первый фломастер синий, второй красный: $$P_1 = \frac{9}{25} \times \frac{4}{24} = \frac{36}{600} = 0,06$$
• Первый фломастер красный, второй синий: $$P_2 = \frac{4}{25} \times \frac{9}{24} = \frac{36}{600} = 0,06$$

1. Общая вероятность: $$P = P_1 + P_2 = 0,06 + 0,06 = 0,12$$