Вероятности сложных событий

1. Пространство возможных исходов: $$5 \times 5 = 25$$

2. Благоприятные исходы:

• (3, 5)
• (4, 4)
• (5, 3)

Комбинации с 6 не учитываются по условию.

1. Вероятность события: $$P = \frac{3}{25} = 0,12$$

Всего при одном броске есть 6 возможных исходов, тогда для двух бросков возможно $6\cdot6 = 36$ исходов.

Так как по условию 1 не выпала ни разу, для первого броска остаётся 5 возможных исходов, а для двух бросков $5\cdot 5 = 25$ исходов.

Найдём все случаи, когда сумма выпавших очков равнялась четырём. $$(2, 2)$$ Всего 1 благоприятных исход. Тогда искомая вероятность равна:

$$\frac{1}{25} = 0,04$$

1. Найдём все возможные комбинации выпадения очков при трёх бросках, дающие в сумме 6: $$\begin{array}{c} 1+1+4, \quad 1+2+3, \quad 1+3+2, \quad 1+4+1, \\ 2+1+3, \quad 2+2+2, \quad 2+3+1, \\ 3+1+2, \quad 3+2+1, \quad 4+1+1 \end{array}$$ Всего 10 возможных исходов.

2. Определим количество исходов, содержащих хотя бы одно 3 очка: $$1+2+3, \quad 1+3+2, \quad 2+1+3, \quad 2+3+1, \quad 3+1+2, \quad 3+2+1$$ Итого 6 благоприятных исходов.

3. Вероятность события: $$P = \frac{6}{10} = 0,6$$

1. Примем общее количество взрослого населения за 1000 человек: $$\begin{aligned} \text{Мужчины} &= 1000 \times 0,48 = 480 \text{ чел.} \\ \text{Пенсионеры всего} &= 1000 \times 0,126 = 126 \text{ чел.} \\ \text{Женщины} &= 1000 - 480 = 520 \text{ чел.} \\ \text{Пенсионерки} &= 520 \times 0,15 = 78 \text{ чел.} \end{aligned}$$

2. Найдём количество мужчин-пенсионеров: $$126 - 78 = 48 \text{ чел.}$$

3. Вероятность того, что случайно выбранный мужчина — пенсионер: $$P = \frac{48}{480} = 0,1$$

1. Общее количество фломастеров: $$4 \text{ (красных)} + 2 \text{ (синих)} = 6 \text{ фломастеров}$$

2. Для выполнения условия необходимо:

• Первый фломастер должен быть красным
• Второй фломастер должен быть красным
• Третий фломастер должен быть синим

1. Вычислим вероятности каждого шага: $$P_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \quad \text{(вероятность вытащить первый красный)}$$ После извлечения одного красного остаётся: $$3 \text{ красных} + 2 \text{ синих} = 5 \text{ фломастеров}$$ $$P_2 = \frac{3}{5} \quad \text{(вероятность вытащить второй красный)}$$ После извлечения двух красных остаётся: $$2 \text{ красных} + 2 \text{ синих} = 4 \text{ фломастера}$$ $$P_3 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{(вероятность вытащить синий третьим)}$$

2. Итоговая вероятность: $$P = P_1 \times P_2 \times P_3 = \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5} = 0,2$$