Вычисления и преобразования

Возведём основание и аргумент логарифма в квадрат.

$$441^{\log_{\sqrt{21}^2}12^2} = 441^{\log_{21}144}$$

Теперь представим число $441$ как квадрат числа $21$: $$(21^2)^{\log_{21}144} = 21^{2\cdot\log_{21}144} = 21^{\log_{21}144^2} = 144^2 = 20736$$

Ответ: $20736$

Рассмотрим части выражения по отдельности.

1. $25^{\log_{125}8}$. Представим числа 25 и 125 как степени числа $5$: $$(5^2)^{\log_{5^3}8} = 5^{\frac{2}{3}\cdot\log_58} = 5^{\log_58^{\frac{2}{3}}} = 5^{\log_54} = 4$$

2. $49^{\log_72}$. Представим число $49$ как степень числа 7: $$(7^2)^{\log_72} = 7^{2\log_72} = 7^{\log_74} = 4$$

3. $81^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\cdot\log_94}$. Представим число $81$ как степень числа $3$: $$(3^4)^{\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\cdot\log_94} = 3^{1 - 2\cdot\log_94} = 3\cdot3^{-2\log_94} = 3\cdot3^{-\log_34} =3 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 3\cdot3^{\log_3\frac{1}{4}} = 3\cdot\frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$

Вычисляем:

$$(\tfrac{3}{4} + 4)\cdot4 = 19$$

Ответ: $19$

$$(30 - 5\cdot5^{ \log_54})\cdot\log_25^{\tfrac{1}{2}}\cdot\log_54 = (30 - 5\cdot4)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_25\cdot\log_54$$

Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_ab\cdot\log_cd = \log_ad\cdot\log_cb$ $$(30 - 5\cdot4)\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_25\cdot\log_54 = 10\cdot\frac{1}{2}\cdot\log_24\cdot\log_55 = 5\cdot 2 = 10$$

Ответ: $10$

По формуле разности кубов: $$\frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)\log_5\frac{5}{3}} = \frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)(\log_55 - \log_53)} =$$ $$= \frac{(1 - \log_53)(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \log_35 + 1)(1 - \log_53)}$$

По свойству логарифмов $\log_ab = \frac{1}{\log_ba}$

$$= \frac{(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_53 + \frac{1}{\log_53} + 1)} = \frac{\log_53(\log_5^23 + \log_53 + 1)}{(\log_5^23 + \log_53 + 1)} = \log_53$$

Ответ: $\log_53$

Воспользуемся свойством логарифмов: $\log_ab + \log_ac = \log_a(b\cdot c)$. $$\log_a(a^2b^3) = \log_aa^2 + \log_ab^3 = 2\log_aa + 3\log_ab = 2- 6 = -4$$