Производная и первообразная

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (−2; 13), B (−2; 3), C (6; 3). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу, смежному с углом ACB:

$$f'(x_0) = -\tg \angle AСВ = -\frac{AВ}{BC} = -\frac{10}{8} = -1,25$$

Пусть точка $A = (-8, 3) $, точка $B = (-3, -1)$, а точка $C = (-1, -3)$ .

Тангенс угла наклона касательной к графику функции равен значению производной в точке касания. Тогда из прямоугольного треугольника $ABC$ найдём тангенс угла $ABC$ (тангенс угла наклона касательной). $AC = 4$, $BC = 5$.

$$f'(x_0) = -\tg \angle ABC = -\frac{AC}{BC} = -\frac{4}{5} = -0,8$$

Знак минус обусловлен убыванием функции.

Физический смысл производной от закона движения – это закон изменения скорости.

$$x'(t) = v(t) = t + 4$$

Найдём скорость в момент времени $t = 2$:

$$v(2) = 2 + 4 = 6 (\text{м/с})$$

Физический смысл производной от закона движения – это закон изменения скорости.

$$x'(t) = v(t) = \frac{1}{2}t^2 - 4t + 6$$

Найдём момент времени $t$, когда скорость равна $96$: $$\frac{1}{2}t^2 -4t + 6 = 96 \Leftrightarrow t^2 - 8t + 12 = 192\Leftrightarrow t^2 - 8t - 180 = 0$$ По теореме Виета находим корни: $$t_1 = -10, t_2 = 18$$ Так как время величина положительная, ответ $t = 18$.

Физический смысл производной от закона движения – это закон изменения скорости.

$$x'(t) = v(t) = \frac{1}{2}t^2 + 2t - 8$$

Найдём момент времени $t$, когда скорость равна $40$: $$\frac{1}{2}t^2 + 2t - 8 = 40 \Leftrightarrow t^2 + 4t - 16 = 80 \Leftrightarrow t^2 + 4t - 96 = 0$$ По теореме Виета находим корни: $$t_1 = -12, t_2 = 8$$ Так как время величина положительная, ответ $t = 8$.