Производная и первообразная

Физический смысл производной от закона движения – это закон изменения скорости.

$$x'(t) = v(t) = t^2 -4t + 3$$

Найдём момент времени $t$, когда скорость равна $48$: $$t^2 -4t + 3 = 48 \Leftrightarrow t^2 - 4t - 45 = 0$$ По теореме Виета находим корни: $$t_1 = 9, t_2 = -5$$ Так как время величина положительная, ответ $t = 9$.

Физический смысл производной от закона движения – это закон изменения скорости.

$$x'(t) = v(t) = t^2 -10t + 45$$

Найдём момент времени $t$, когда скорость равна $20$: $$t^2 -10t + 45 = 20 \Leftrightarrow t^2 - 10t + 25 = 0 \Leftrightarrow (t - 5)^2 = 0 \Rightarrow t = 5$$

Запишем условия касания графиков: $$\begin{cases} -3x - 5 = x^2 + 7x + c\\ (-3x - 5)' = (x^2 + 7x + c)' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + 10x + 5 + c = 0 \\ 2x + 7 = -3 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x^2 + 10x + 5 + c = 0 \\ x = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (-5)^2 + 10\cdot(-5) + 5 + c = 0 \\ x = -5 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} 25 -50 + 5 + c = 0 \\ x = -5 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} c = 20 \\ x = -5 \end{cases}$$

Запишем условия касания графиков: $$\begin{cases} 9x + 6 = ax^2 - 19x + 13\\ (9x + 6)' = (ax^2 - 19x + 13)' \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} ax^2 -28x + 7 = 0 \\ 9 = 2ax - 19 \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} ax^2 -28x + 7 = 0 \\ x = \tfrac{14}{a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a(\tfrac{14}{a})^2 - 28\cdot(\tfrac{14}{a}) + 7 = 0 \\ x = \tfrac{14}{a} \end{cases} \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} \tfrac{196}{a} - \tfrac{392}{a} + 7 = 0 \\ x = \tfrac{14}{a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 28 \\ x = 0,5 \end{cases}$$

Функция возрастает на промежутках, где её производная положительна. Всего на графике таких точек три: $x_1, x_2, x_5$.