Производная и первообразная

Производная функции неотрицательна на промежутках возрастания этой функции, поэтому точки принадлежащие промежуткам убывания функции можно не рассматривать, так как в них производная неположительна.

Чем быстрее возрастает функция, тем больше значение её производной. Найдём точки, принадлежащие промежуткам возрастания функции: $-2; 2$.

Точка $-2$ принадлежит промежутку, на котором функция возрастает быстрее, следовательно значение производной в ней будет больше.

Производная функции неположительна на промежутках убывания этой функции, поэтому точки принадлежащие промежуткам возрастания функции можно не рассматривать, так как в них производная неотрицательна.

Чем быстрее убывает функция, тем меньше значение её производной. Найдём точки, принадлежащие промежуткам убывания функции: $-1; 4$.

Точка $4$ принадлежит промежутку, на котором функция убывает быстрее, следовательно значение производной в ней будет наименьшим.

$f(x)$ – является производной функции $F(x)$. Уравнение $f(x) = 0$ означает, что производная функции $F'(x) = f(x)$ равна $0$ в точках, в которых сама функция $F(x)$ меняет свою монотонность.

Всего таких точек на отрезке $[-2; 4]$: $10$.

Разность первообразных функции равна площади фигуры, ограниченнеой прямыми $x = 2, \quad x = 8$, осью $X$ и самим графиком функции.

Данная фигура представляет собой трапецию с высотой $h = 2$ и средней линией равной $m = \frac{1 + 6}{2} = 3,5$.

Вычислим значение выражения  $F\left(8\right)-F\left(2\right)$:

$$~F\left(8\right)-F\left(2\right) = h\cdot m = 2\cdot3,5 = 7$$

Разность первообразных функции, вычисленных в точках $x = -11, x = -9$, равна площади фигуры, ограниченнеой прямыми $x = -11, \quad x = -9$, осью $X$ и самим графиком функции (т. е искомой фигуре).

Вычислим значения первообразной в точках $x = -11, x = -9$:

$$F(-11) = (-11)^3 + 30\cdot121 - 302\cdot11 - \frac{15}{8} = -1331 + 3630 - 3322 - \frac{15}{8} = -1024,875$$

$$F(-9) = (-9)^3 + 30\cdot81 - 302\cdot9 - \frac{15}{8} = -729 + 2430 - 2718 - \frac{15}{8} = -1018,875$$

Найдём разность этих значений:

$$F(-9) - F(-11) = -1018,875 + 1024,875 = 6$$