Призмы

Решение:

а)

Пусть $CH$ — высота треугольника $ABC$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CH$ является медианой, поэтому $AH=HB=\tfrac12 AB$.

По условию $AP:PB=3:1$ и $HB=\tfrac12 AB$, следовательно $HP:PB=1:1$.

В треугольнике $CHB$ заметим следующее: $HP=PB$. $BM=MC$.

Следовательно, $MP$ — средняя линия треугольника $CHB$, и $MP\parallel CH$.

Поскольку $CH\perp AB$, то $MP$ перпендикулярна $AB$, откуда $MP\perp AB$.

Проекция $PM$ отрезка $QP$ на плоскость $ABC$: точки $M$ и $Q$ являются серединами $BC$ и $B_1C_1$ соответственно, поэтому $MQ\parallel BB_1$. Так как $BB_1\perp (ABC)$, получается $MQ\perp (ABC)$. По признаку перпендикулярности плоскостей, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна плоскости. Поэтому $QP$ перпендикулярен $AB$. Отсюда $AB\perp$ двум пересекающимся прямым в плоскости $QPM$, значит $AB\perp$ плоскости $QPM$, а потому $AB\parallel\alpha$.

Итак, пункт a) доказан: $$AB\parallel\alpha.$$

Пункт b).

Обозначим через $H_1$ проекцию точки $P$ на плоскость $\alpha$, то есть $MH_1\perp PQ$. Нас интересует отношение $PH_1:H_1Q$, так как $\alpha\perp PQ$.

Сначала найдём необходимые длины в основании и в вертикальном направлении.

По условию $AA_1=5$. Так как $Q$ — середина $B_1C_1$, то $QM=5PB$ по расположению ребер призмы, а также $QM=\tfrac14 AB = 3BM$. Более удобно выразить через $PB$.

Найдём $PB$. Из прямоугольного треугольника, опираясь на данные $AB=12$ и $\cos\angle ABC=\tfrac{3}{5}$, получаем для стороны $BC$: $$\cos\angle ABC=\frac{AB}{2\cdot BC}\quad\text{(в равнобедренном треугольнике при основании AB)}.$$ Но удобнее воспользоваться проекцией: пусть $CH$ — высота, тогда $$\cos\angle ABC=\frac{BH}{BC}=\frac{AB/2}{BC}=\frac{6}{BC}=\frac{3}{5}.$$ Отсюда $$BC=\frac{6\cdot 5}{3}=10.$$

Так как $AP:PB=3:1$ и $AB=12$, получаем $$PB=\frac{1}{4}AB=3.$$

Далее $AA_1=5$ дано напрямую.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BPM$ (здесь $PM$ — проекция $PQ$ на плоскость основания). По теореме Пифагора: $$MB^2 = PM^2 + PB^2.$$ Из геометрии основания $MB=\tfrac12 BC=5$, поэтому $$5^2 = PM^2 + 3^2 \quad\Rightarrow\quad PM^2 = 25-9=16,$$ откуда $$PM=4.$$

Пусть $MH_1$ перпендикулярна $PQ$. Тогда отношение $PH_1:H_1Q$ равно квадрату тангенса или косинуса угла в соответствующем прямоугольном треугольнике. В прямоугольном треугольнике со сторонами $PM$ и $QM$ имеем $$\frac{PM^2}{QM^2}=\frac{4^2}{5^2}=\frac{16}{25}.$$

Следовательно, искомое отношение равно $$\frac{PH_1}{H_1Q}=\frac{PM^2}{QM^2}=\frac{16}{25}.$$

Ответ: $$\boxed{\frac{16}{25}}$$

1. Находим площадь основания призмы: $$S = \frac{V_{\text{воды}}}{h_1} = \frac{2300}{25} = 92\ \text{см}^2$$

2. Вычисляем объём вытесненной воды: $$V_{\text{выт}} = S \cdot \Delta h = 92 \times 2 = 184\ \text{см}^3$$

3. По закону Архимеда: $$V_{\text{дет}} = V_{\text{выт}} = 184\ \text{см}^3$$

1.Формула объёма правильной треугольной призмы: $$V = S_{\text{осн}} \cdot H = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot H$$ где $a$ — сторона основания, $H$ — высота призмы.

2.Объём воды в первом сосуде: $$V = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot 80$$

3.При увеличении стороны основания в 4 раза: $$a' = 4a$$ $$S'_{\text{осн}} = \frac{\sqrt{3}}{4}(4a)^2 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$

1. Новый уровень воды $h$: $$V = S'_{\text{осн}} \cdot h$$ $$\frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot 80 = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 \cdot h$$ $$80 = 16h$$ $$h = \frac{80}{16} = 5 \text{ см}$$

1. Свойства правильной шестиугольной призмы:

• Имеет 6 боковых граней (прямоугольников)
• Каждая грань имеет размеры: сторона основания × высота призмы

1. Площадь одной боковой грани: $$S_{\text{грани}} = a \times h = 5 \times 10 = 50$$

2. Площадь всей боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = 6 \times S_{\text{грани}} = 6 \times 50 = 300$$

$$\begin{align*} V &= \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 \cdot H = \frac{3\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3})^3 \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot 3\sqrt{3} = \frac{27}{2} = 13,5 \end{align*}$$