Призмы

Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника): $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 5 = 7{,}5 \text{ см}^2$$

Объем призмы вычисляется по формуле: $$V = S_{\text{осн}} \cdot h$$ где $h$ - боковое ребро (высота призмы).

Выразим и найдем высоту: $$h = \frac{V}{S_{\text{осн}}} = \frac{30}{7{,}5} = 4 \text{ см}$$

Найдем гипотенузу основания по теореме Пифагора: $$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{9^2 + 40^2} = \sqrt{81 + 1600} = \sqrt{1681} = 41 \text{ см}$$

Вычислим периметр основания: $$P = a + b + c = 9 + 40 + 41 = 90 \text{ см}$$

Площадь боковой поверхности прямой призмы: $$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 90 \cdot 50 = 4500 \text{ см}^2$$

Найдем гипотенузу основания: $$c = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}$$

Вычислим периметр основания: $$P = 5 + 12 + 13 = 30 \text{ см}$$

Найдем площадь боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 30 \cdot 8 = 240 \text{ см}^2$$

Найдем гипотенузу основания: $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}$$

Вычислим площадь основания: $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

Найдем периметр основания: $$P = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$$

Площадь поверхности состоит из двух оснований и боковой поверхности: $$S_{\text{пов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 24 + P \cdot h = 48 + 24h$$

Решим уравнение: $$48 + 24h = 288 \\ 24h = 240 \\ h = 10 \text{ см}$$

Найдем гипотенузу основания: $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = 10 \text{ см}$$

Вычислим площадь основания: $$S_{\text{осн}} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2$$

Найдем периметр основания: $$P = 6 + 8 + 10 = 24 \text{ см}$$

Вычислим площадь боковой поверхности: $$S_{\text{бок}} = P \cdot h = 24 \cdot 10 = 240 \text{ см}^2$$

Найдем полную площадь поверхности: $$S_{\text{пов}} = 2S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 2 \cdot 24 + 240 = 288 \text{ см}^2$$