Прочее

$$x(x^2 + 2x + 1) \geq 0 \Leftrightarrow x(x + 1)^2 \geq 0$$

Ответ: $\{-1\} \cup [0; +\infty)$

Решение:

$$\left(* \right) \quad x^2 -3x + 2 \neq 0$$ $$x \neq 1 \quad x \neq 2$$

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю, предварительно разложив и числитель и знаменатель на множители:

$$\frac{4x^2 - 1}{x^2 - 3x + 2} = 1 - 2x$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1)}{(x - 1)(x - 2)} + 2x - 1 = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1) + (2x - 1)(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1) + (2x - 1)(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$

Вынесем общий множитель в числителе:

$$\frac{(2x - 1)((2x + 1) + (x - 1)(x - 2))}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(2x + 1+ x^2 - 3x + 2)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$ $$\frac{(2x - 1)(x^2 - x + 3)}{(x - 1)(x - 2)} = 0$$

Отсюда получаем:

$$2x - 1 = 0 \quad \text{или} \quad x^2 -x + 3 = 0$$ $$x = \frac{1}{2} \quad \quad x^2 -x + 3 > 0 \quad (\text{так как D < 0})$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

$$\left(*\right) \quad x^2 - 4x + 3 \neq 0 \quad x - 3 \neq 0 \quad x -2 \neq 0$$ $$(x - 1)(x - 3) \neq 0 \quad x \neq 3 \quad x \neq 2$$ $$x \neq 1 \quad x \neq 3 \quad x \neq 2$$

Приведём к общему знаменателю правую часть уравнения:

$$\frac{1}{x^2 - 4x + 3} = \frac{1}{(x - 3)(x - 2)}$$

Данные дроби будут равны тогда, когда будут равны их знаменатели:

$$x^2 - 4x + 3 = (x - 3)(x - 2)$$ $$x^2 - 4x + 3 = x^2 -5x + 6$$ $$x = 3$$

Но по условию задачи $x \neq 3$

Ответ: нет корней

$$\left(*\right) \quad x^2 + 2x + 4 \neq 0$$ $$D < 0 \Rightarrow x^2 + 2x + 4 \neq 0 \text{ при любых } x$$

Перенесём всё в левую часть уравнения и приведём к общему знаменателю:

$$\frac{(x - 2)(x + 3) - (x + 3)(x^2 + 2x + 4)}{x^2 + 2x + 4} = 0$$ $$\frac{(x + 3)(x - 2 - x^2 - 2x - 4)}{x^2 + 2x + 4} = 0$$ $$\frac{(x + 3)(- x^2 - x - 6)}{x^2 + 2x + 4} = 0$$ $$x = -3 \quad \text{или} \quad -x^2 - x - 6 = 0$$ $$D < 0 \Rightarrow -x^2 - x - 6 \neq 0\text{ при любых } x$$

Ответ: $-3$

$$\left(*\right) \quad x \neq 0 \quad x \neq -1$$

Приведём всё к общему знаменателю:

$$\frac{x + 1 + x - 2x(x + 1)}{x(x + 1)} = 0$$ $$\frac{-2x^2 + 1}{x(x + 1)} = 0$$ $$\frac{(1 - \sqrt2\cdot x)(1 + \sqrt2\cdot x)}{x(x + 1)} = 0$$ $$x = \frac{1}{\sqrt2} \quad x = -\frac{1}{\sqrt2}$$

Ответ: $\frac{1}{\sqrt2}; -\frac{1}{\sqrt2};$