Прочее

Решение 1 (через вершину параболы)

1. Дана вершина параболы в точке $(1, -6)$, поэтому: $$f(x) = a(x-1)^2 - 6$$

2. Используем точку $(3, 2)$: $$2 = a(3-1)^2 - 6 \Rightarrow 4a = 8 \Rightarrow a = 2$$

3. Получаем уравнение: $$f(x) = 2(x-1)^2 - 6 = 2x^2 - 4x - 4$$

4. Вычисляем $f(-3)$: $$f(-3) = 2(-3)^2 - 4(-3) - 4 = 18 + 12 - 4 = 26$$

Решение 2 (через систему уравнений)

1. Используем известные точки: $$\begin{cases} f(1) = -6 \\ f(3) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a(1)^2 - 4(1) + c = -6 \\ a(3)^2 - 4(3) + c = 2 \end{cases}$$

2. Упрощаем систему: $$\begin{cases} a + c = -2 \\ 9a + c = 14 \end{cases}$$

3. Решаем систему: $$\begin{cases} 8a = 16 \\ c = -2 - a \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 2 \\ c = -4 \end{cases}$$

4. Получаем уравнение: $$f(x) = 2x^2 - 4x - 4$$

5. Вычисляем $f(-3)$: $$f(-3) = 2(-3)^2 - 4(-3) - 4 = 18 + 12 - 4 = 26$$

Ответ 26

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-4, -3)$
• Точка $(-3, -2)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 4)^2 - 3$$

Используем точку $(-3, -2)$: $$-2 = a(-3 + 4)^2 - 3 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 4)^2 - 3$$

Вычислим $f(-12)$: $$f(-12) = (-12 + 4)^2 - 3 = (-8)^2 - 3 = 64 - 3 = 61$$

Из графика известно:

• Вершина параболы в точке $(-3, -5)$
• Точка $(-1, -1)$ принадлежит графику

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = a(x + 3)^2 - 5$$

Используем точку $(-1, -1)$: $$-1 = a(-1 + 3)^2 - 5 \Rightarrow 4a = 4 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(1)$: $$f(1) = (1 + 3)^2 - 5 = 16 - 5 = 11$$

Решение 1:

Из графика видно, что:

• Вершина параболы находится в точке $(-3, -5)$
• Коэффициент $a = 1$ (парабола стандартного вида)

Запишем уравнение в виде: $$f(x) = (x + 3)^2 - 5$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9 + 3)^2 - 5 = (-6)^2 - 5 = 36 - 5 = 31$$

Решение 2:

Из графика известны три точки: $$\begin{align*} f(-5) &= -1 \\ f(-3) &= -5 \\ f(-2) &= -4 \end{align*}$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 25a - 5b + c = -1 \\ 9a - 3b + c = -5 \\ 4a - 2b + c = -4 \end{cases}$$

Решая систему, получим: $$a = 1, \quad b = 6, \quad c = 4$$

Таким образом: $$f(x) = x^2 + 6x + 4$$

Вычислим $f(-9)$: $$f(-9) = (-9)^2 + 6 \cdot (-9) + 4 = 81 - 54 + 4 = 31$$

Проведём прямую, параллельную прямой $MN$ через точку $C$.

Обозначим точки пересечения этой прямой и прямой $AB$ c прямой $MN$ как $G$ и $L$ соответственно.

По теореме о пропорциональных отрезках для угла $\angle A$ и параллельных прямых $CG$ и $MN$ : $$\frac{LG}{AG} = \frac{CN}{AC} = \frac{1}{2}$$ Откуда $LG = \frac{1}{2} AG$. Пусть $LG = a$, тогда $AL = AG + LG = 3a$.

Тогда по теореме о пропорциональных отрезках для угла $\angle B$ и параллельных прямых $CG$ и $MN$:

$$\frac{BL}{LG} = \frac{BM}{MC} = \frac{1}{3} \Rightarrow BL = \frac{LG}{3} = \frac{a}{3}$$

Тогда искомое отношение: $$\frac{BL}{AL} = \frac{\frac{a}{3}}{3a} = \frac{1}{9}$$

Ответ: $\tfrac{1}{9}$