Прочее

Точка $E$ – середина стороны $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ $\Rightarrow AE = EC$

Проведём из точки $E$ прямую, параллельную $AD$.

$M$ – точка пересечения этой прямой с прямой $BC$.

Тогда по теореме Фалеса для угла $C$ и параллельных прямых $AD$ и $EM$: $$\frac{EC}{AE} = \frac{CM}{MD} = 1$$

Пусть $BD = 2a$, тогда $DC = 8a$ и $BC = 10a$. Тогда: $$DM = MC = \frac{DC}{2} = 4a$$

По теореме Фалеса для угла $EBC$ и параллельных прямых $AD$ и $EM$ получаем:

$$\frac{BK}{KE} = \frac{BD}{DM} = \frac{2a}{4a} = \frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{1}{2}$

Проведём из точки $E$ прямую, параллельную $FB$. Обозначим точку пересечения этой прямой со стороной $AC$ за $L$.

По теореме Фалеса для угла $\angle B$ и параллельных прямых $FB$ и $LE$: $$\frac{BE}{EC} = \frac{FL}{LC}$$

Пусть $AC = 11a$, тогда $AF = 6a$, а $FC = 5a$.

По теореме Фалеса для угла $\angle CAE$ и параллельных прямых $FB || LE$: $$\frac{AF}{FL} = \frac{AO}{OE} = 3$$ $$FL = \frac{AF}{3} = 2a$$ $$LC = AC - AL = AC - (AF + FL) = 11a - 6a - 2a = 3a$$

Отсюда: $$\frac{BE}{CE} = \frac{FL}{LC} = \frac{2a}{3a} = \frac{2}{3}$$

Ответ: $\frac{2}{3}$

1. Найдём коэффициенты $b$ и $c$:

Из графика известны две точки: $$f(-2) = -2 \quad \text{и} \quad f(1) = 1$$

Составим систему уравнений: $$\begin{cases} 2 \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) + c = -2 \\ 2 \cdot 1^2 + b \cdot 1 + c = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} 8 - 2b + c = -2 \\ 2 + b + c = 1 \end{cases}$$ $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$

Решим систему: $$\begin{cases} -2b + c = -10 \\ b + c = -1 \end{cases}$$ Вычтем второе уравнение из первого: $$-3b = -9 \Rightarrow b = 3$$ Подставим $b = 3$ во второе уравнение: $$3 + c = -1 \Rightarrow c = -4$$

1. Запишем функцию: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 4$$

2. Вычислим $f(-5)$: $$f(-5) = 2 \cdot (-5)^2 + 3 \cdot (-5) - 4 = 2 \cdot 25 - 15 - 4 = 50 - 15 - 4 = 31$$

Ответ 31

Из условия задачи нам известны следующие значения функции: $$\begin{align*} f(-2) &= 4a - 2b - 6 = -4 \\ f(1) &= a + b - 6 = -1 \end{align*}$$

Составим и решим систему уравнений: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ a + b = 5 \end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 2: $$\begin{cases} 4a - 2b = 2 \\ 2a + 2b = 10 \end{cases}$$

Сложим уравнения: $$6a = 12 \Rightarrow a = 2$$

Подставим $a = 2$ во второе уравнение: $$2 + b = 5 \Rightarrow b = 3$$

Теперь запишем уравнение функции: $$f(x) = 2x^2 + 3x - 6$$

Вычислим $f(-6)$: $$f(-6) = 2 \cdot (-6)^2 + 3 \cdot (-6) - 6 = 2 \cdot 36 - 18 - 6 = 72 - 18 - 6 = 48$$

1. Определим уравнение функции $g(x)$:

Из рисунка видно:

• Вершина параболы $g(x)$ находится в точке $(-1, -2)$
• Парабола проходит через точку $(0, -1)$

Используем формулу параболы через вершину: $$g(x) = a(x + 1)^2 - 2$$

Подставим точку $(0, -1)$: $$-1 = a(1)^2 - 2 \Rightarrow a = 1$$

Таким образом: $$g(x) = (x + 1)^2 - 2 = x^2 + 2x - 1$$

1. Найдем точки пересечения: Решим уравнение: $$4x^2 - 25x + 41 = x^2 + 2x - 1$$ $$3x^2 - 27x + 42 = 0$$ $$x^2 - 9x + 14 = 0$$ Корни уравнения: $$x = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2} = \frac{9 \pm 5}{2} \Rightarrow \begin{cases} x_1 = 2 \\ x_2 = 7 \end{cases}$$

2. Вычислим ординату точки $B$: $$g(7) = 7^2 + 2 \cdot 7 - 1 = 49 + 14 - 1 = 62$$

Ответ 62