Прочее

Геометрический смысл производной - это угловой коэффициент касательной к графику функции в данной точке.

Производная $f′(x_0)$ в точке$(x_0)$ равна тангенсу угла наклона касательной, проведённой к графику $y = f(x)$ в этой точке.

Алгебраический смысл производной — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Если записать формулой:

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

Простыми словами:
Производная показывает, как быстро меняется значение функции $f(x)$ при изменении $x$ в окрестности точки $x_0$.

• Если $f'(x_0) > 0$ — функция возрастает в этой точке.
• Если $f'(x_0) < 0$ — функция убывает.
• Если $f'(x_0) = 0$ — возможно экстремум или постоянство.

Физический смысл производной — это мгновенная скорость изменения величины.

Если $s(t)$ — путь, зависящий от времени, то:

$$v(t) = s'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{s(t + \Delta t) - s(t)}{\Delta t}$$

Простыми словами:
Производная показывает, как быстро меняется физическая величина в данный момент времени.

• $s'(t)$ — мгновенная скорость (как быстро меняется путь)
• $v'(t)$ — ускорение (как быстро меняется скорость)

Пример:
Если $s(t) = t^2$ м, то скорость $v(t) = 2t$ м/с. При $t = 3$ с: $v = 6$ м/с.

Воспользуемся свойством биссектрисы для $CD$: $$\frac{BD}{AD} = \frac{BC}{AC} = \frac{a}{b}$$

Отсюда: $$\frac{BD}{AB} = \frac{a}{a + b}$$

Рассмотрим треугольники $BDE$ и $ABC$.

Они подобны по двум углам $(\angle BED = \angle BCA \text { и } \angle BAC = \angle BDE)$ как соответственные углы при параллельных прямых $AC$ и $DE$.

Запишем соответствующие отношения: $$\frac{BD}{AB} = \frac{DE}{AC} \Rightarrow DE = \frac{BD}{AB}\cdot AC = \frac{a}{a + b}\cdot b = \frac{ab}{a + b}$$

Ответ: $\frac{ab}{a + b}$

Обозначим точку пересечения диагоналей параллелограмма за $M$, а пересечение прямых $ME$ и $AD$ за $K$.

По условию $ME \perp BC$.

Рассмотрим треугольники $KFA$ и $EFB$. Углы $FEB$ и $FKA$ равны $90^\circ$. Углы $FBE$ и $KAF$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $AD$ и $BC$.

Обозначим искомый отрезок $BE$ за $x$.

Рассмотрим треугольники $BMC$ и $AMD$. Они равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, $KD = BE = x$, тогда: $$AD - KD = b - x$$ Из подобия треугольников $FBE$ и $FKA$ следует: $$\frac{BE}{AK} = \frac{BF}{AF} \Leftrightarrow \frac{x}{b - x} = \frac{c}{a + c} \Leftrightarrow x(a + c) = cb - cx \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x(a + 2c) = cb \Leftrightarrow x = \frac{cb}{a + 2c}$$

Ответ: $\frac{cb}{a + 2c}$