Прочее

Найдем производную заданной функции:

$$y'=\frac{5}{x+5}-5.$$

Найдем нули производной:

$$\frac{5}{x+5}-5=0 \Leftrightarrow x=-4.$$

Определим знаки производной и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума $x=-4.$

О т в е т: $-4$.

а) Пусть $t=9^{\cos x}$, тогда:

$$9t^2-28t+3=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t=\frac{1}{9},\\ t=3. \end{array} \right.$$

Вернемся к исходной переменной:

$$\left[ \begin{array}{l} 9^{\cos x}=\frac{1}{9},\\ 9^{\cos x}=3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=-1,\\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\pi+2\pi k,\\ x=\frac{\pi}{3}+2\pi k,\\ x=-\frac{\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}. \end{array} \right.$$

б) Корни, принадлежащие промежутку $\left[\frac{5\pi}{2};\,4\pi\right]$, отберем на тригонометрической окружности (см. рис.). Получим числа $3\pi,\ \frac{11\pi}{3}$.

О т в е т: а) $\left\{\pi+2\pi k,\ \frac{\pi}{3}+2\pi k,\ -\frac{\pi}{3}+2\pi k:\ k\in\mathbb{Z}\right\}$; б) $3\pi;\ \frac{11\pi}{3}$.

а) Так как $BB_1 \perp (A_1B_1C_1)$, $B_1C_1 \perp A_1C_1$, то по теореме о трех перпендикулярах $BC_1 \perp A_1C_1$ как наклонная. Следовательно, $\triangle A_1C_1B$ — прямоугольный.

б) Заметим, что $BC \perp AC$ и $BC \perp CC_1$, следовательно, по признаку $BC \perp (AA_1C_1)$. Тогда $BC$ — высота пирамиды $BAA_1C_1$ с основанием $AA_1C_1$.

Так как $\triangle AA_1C_1$ прямоугольный, то

$$V_{BAA_1C_1}=\frac{\frac12\cdot AA_1\cdot A_1C_1\cdot BC}{3}$$

По теореме Пифагора имеем:

$$A_1C_1=\sqrt{26^2-10^2}=\sqrt{16\cdot 36}=24$$

$$AA_1=\sqrt{26^2-25^2}=\sqrt{1\cdot 51}=\sqrt{51}$$

$$BC=\sqrt{10^2-51}=\sqrt{49}=7$$

Тогда искомый объем пирамиды равен

$$V_{BAA_1C_1}=\frac{\frac12\cdot 24\cdot \sqrt{51}\cdot 7}{3}=28\sqrt{51}$$

Ответ:

б) $28\sqrt{51}$

Сделаем замену: $9^x-2\cdot 3^x=t$. Тогда неравенство примет вид

$$t^2-62t-63\ge 0 \Leftrightarrow (t+1)(t-63)\ge 0 \Leftrightarrow \begin{cases} t\le -1 \\ t\ge 63 \end{cases}$$

Пусть $3^x=z$, тогда $t=z^2-2z$, следовательно, имеем:

$$\begin{cases} z^2-2z\le -1 \\ z^2-2z\ge 63 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (z-1)^2\le 0 \\ (z-9)(z+7)\ge 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} z=1 \\ z\ge 9 \\ z\le -7 \end{cases}$$

Сделаем обратную замену:

$$\begin{cases} 3^x=1 \\ 3^x\ge 9 \\ 3^x\le -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x\ge 2 \\ x\in\varnothing \end{cases}$$

Следовательно, получаем

$$x\in\{0\}\cup[2;+\infty).$$

Ответ:

$$\{0\}\cup[2;+\infty)$$

а) Рассмотрим $\triangle PQA$ и $\triangle OMA$: $\angle PQA=\angle OMA=90^\circ$, так как опираются на диаметры $PA$ и $OA$ соответственно, $\angle PAQ$ — общий. Тогда треугольники $PQA$ и $OMA$ подобны по двум углам и $\angle APQ=\angle AOM$. Поскольку эти углы соответственные при прямых $PQ$ и $OM$ и секущей $PA$, то $PQ\parallel OM$ и $PQ\parallel BC$.

б) Из предыдущего пункта следует, что коэффициент подобия треугольников $PQA$ и $OMA$ равен $PA:OA=2:1$. Следовательно, $QM=MA$. Обозначим $OM=a$, $MA=b$, $OA=c$. Найдем $QK:KM$.

Заметим, что треугольники $PQK$ и $MCK$ подобны по двум углам. Следовательно,

$$QK:KM=PQ:MC=2OM:MC$$

Так как $OC=OA$ — радиусы большей окружности, то

$$QK:KM=2a:(c-a)$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOM$ с катетами $a$ и $b$ и гипотенузой $c$. Поскольку $\sin \angle AOM=\frac{1}{4}\sqrt{15}$, то примем $b=\sqrt{15}x$, $c=4x$. Тогда по теореме Пифагора $a=x$ и

$$QK:KM=2x:(4x-x)=2:3$$

Отсюда $QK=2y$, $KM=3y$ и с учетом $QK+KM=MA$ получим

$$QK:KA=2y:(3y+5y)=2y:8y=1:4$$

Ответ:

б) $1:4$