Прочее

Точки максимума соответствуют точкам смены знака производной с положительного на отрицательный. На отрезке [−6; 9] функция имеет одну точку максимума x  =  7.

Высота цилиндра равна диаметру шара, а радиус основания цилиндра равен радиусу шара (см. рис.). Площадь основания цилиндра равна

$$S_{\text{осн}}=\pi R^2.$$

Площадь боковой поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{бок}}=2\pi R\cdot h=2\pi R\cdot 2R=4\pi R^2.$$

Площадь полной поверхности цилиндра равна

$$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+2S_{\text{осн}}=4\pi R^2+2\pi R^2=6\pi R^2.$$

Поскольку площадь поверхности шара дается формулой $S_{\text{ш}}=4\pi R^2$, имеем: $S_{\text{полн}}=1,5S_{\text{ш}}=166,5.$

О т в е т: $166,5$.

Используем формулу косинуса двойного угла $1-2\sin^2\alpha=\cos2\alpha$:

$$\sqrt{3}-\sqrt{12}\sin^2\frac{5\pi}{12} = \sqrt{3}\left(1-2\sin^2\frac{5\pi}{12}\right) = \sqrt{3}\cos\frac{5\pi}{6} =$$

$$= \sqrt{3}\cos\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right) = -\sqrt{3}\cos\frac{\pi}{6} = -\sqrt{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{3}{2}.$$

О т в е т: $-1,5$.

Поскольку $f=30$, имеем:

$$\frac{1}{d_1}+\frac{1}{d_2}=\frac{1}{30}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}.$$

Наименьшему возможному $d_1$ значению соответствует наибольшее значение левой части полученного равенства, и, соответственно, наибольшее возможное значение правой части равенства. Разность $\frac{1}{30}-\frac{1}{d_2}$ в правой части достигает наибольшего значения при наименьшем значении вычитаемого $\frac{1}{d_2}$, которое достигается при наибольшем возможном значении знаменателя $d_2$. Поэтому $d_2=180$, откуда

$$\frac{1}{d_1}=\frac{1}{30}-\frac{1}{180}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{5}{180}\Leftrightarrow \frac{1}{d_1}=\frac{1}{36}\Leftrightarrow d_1=36\text{ см.}$$

По условию лампочка должна находиться на расстоянии от $30$ до $50$ см от линзы. Найденное значение удовлетворяет условию.

Скорость плота равна скорости течения реки, поэтому составляет $2$ км/ч. Пусть $u$ км/ч — скорость яхты, тогда скорость яхты по течению равна $u+2$ км/ч, а скорость яхты против течения равна $u-2$ км/ч, причем $u>2$. Яхта, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$, а плоту, чтобы пройти те же $24$ км, понадобилось на час больше времени. Составим и решим уравнение:

$$\frac{120}{u+2}+\frac{120}{u-2}+1=\frac{24}{2}\Leftrightarrow \frac{240u}{u^2-4}=11 \Leftrightarrow 11u^2-240u-44=0 \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \begin{cases} u=\dfrac{240+\sqrt{240^2+44^2}}{22}=22;\\ u=\dfrac{240-\sqrt{240^2+44^2}}{22}=-\dfrac{2}{11} \end{cases} \Leftrightarrow u=22.$$