Прочее

а) Рассмотрим треугольник $MAD$. Он равнобедренный, так как $AM = AD$ по условию. Значит, углы при его основании $MD$ равны. То есть

$$\angle AMD = \angle ADM.$$

Пусть угол параллелограмма $\angle A = \angle BAD = \alpha$. По условию $\alpha < 90^\circ$. Тогда $\angle ABC = 180^\circ - \alpha$.

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $AB \parallel CD$. Прямая $AD$ является секущей для параллельных прямых $AB$ и $CD$. Тогда $\angle ADM = \angle BAD = \alpha$ как накрест лежащие углы.

Вернемся к треугольнику $MAD$ и найдем угол $MAD$ :

$$\angle MAD = 180^\circ - \angle AMD - \angle ADM = 180^\circ - 2\angle ADM = 180^\circ - 2\alpha$$

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $BAM$ и докажем, что они равны. Сторона $AB$ у них общая. Стороны $AM = AD$ по условию. Стороны $AD = BC$, так как $ABCD$ — параллелограмм. Значит, $AM = BC$. В треугольнике $ABC$ угол между сторонами $AB$ и $BC$ равен $\angle BAC = 180^\circ - \alpha$. В треугольнике $BAM$ угол между сторонами $AB$ и $AM$ равен

$$\angle BAM = \angle BAD + \angle MAD = \alpha + 180^\circ - 2\alpha = 180^\circ - \alpha = \angle ABC$$

Значит, $\triangle ABC = \triangle BAM$ по первому признаку равенства треугольников. В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому равны и третьи стороны. То есть $BM = AC$.

Далее рассмотрим $\triangle NCD$, проведем аналогичные рассуждения и докажем, что $\triangle NCB = \triangle ABC$. То есть получим, что $AC = BN$. Тогда

$$BM = AC = BN.$$

б) Найдём величину угла $MBN$ :

$$\angle MBN = \angle ABC - \angle ABM - \angle CBN = \angle ABC - (\angle ABM + \angle CBN)$$

В предыдущем пункте мы доказали, что

$$\triangle ABC = \triangle BAM = \triangle NCB$$

В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому

$$\angle ABM = \angle BAC,\; \angle CBN = \angle BCA$$

Заметим, что

$$180^\circ - \alpha = \angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle BCA = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) \Rightarrow \angle BAC + \angle BCA = \alpha$$

Тогда

$$\angle MBN = \angle ABC - (\angle ABM + \angle CBN) = \angle ABC - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - \alpha - \alpha = 180^\circ - 2\alpha$$

По условию $AC = 4$. Значит, $BM = BN = AC = 4$. Рассмотрим $\triangle MBN$. По теореме косинусов имеем:

$$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2\cos(\angle MBN)\cdot BM \cdot BN$$

Найдем $\cos(\angle MBN)$ :

$$\cos(\angle MBN)=\cos(180^\circ-2\alpha)=-\cos(2\alpha)=-(1-2\sin^2(\alpha))=$$

$$=2\sin^2(\alpha)-1=\frac{2\cdot 64-289}{289}=-\frac{161}{289}$$

Тогда по теореме косинусов в треугольнике $MBN$ :

$$MN^2 = BM^2 + BN^2 - 2\cos(\angle MBN)\cdot BM \cdot BN =$$

$$=4^2+4^2-2\cdot\left(-\frac{161}{289}\right)\cdot 4\cdot 4=\frac{16\cdot 900}{289}\Rightarrow MN=\frac{120}{17}$$

Ответ:

б) $\frac{120}{17}$

Кредит размером $S = 600$ тыс. рублей взят на 6 лет, при этом каждый раз в год сумма долга должна уменьшаться на $\frac{S}{6}$. Составим таблицу, учитывая, что первые три раза сумма долга увеличивается на $r\%$, а последние три — на $15\%$. Значение в ячейке столбца «Выплата» можно вычислить двумя способами:

1. как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления $\%$» и «Сумма долга после выплаты»;
2. как величину, на которую уменьшается долг (в данной задаче это $\frac{1}{6}S$) + процент от суммы долга на соответствующий месяц (в данной задаче это $\sigma \cdot \frac{r}{100}$ либо $\sigma \cdot \frac{15}{100}$, где $\sigma$ — значение в столбце «Сумма долга до начисления $\%$»).

Приравняем сумму выплат (сумма по столбцу «Выплата») к 930 тысячам, подставим $S = 600$ тыс. и найдем $r$ :

$$S + \frac{r}{100}\left(S + \frac{5}{6}S + \frac{4}{6}S\right) + \frac{15}{100}\left(\frac{3}{6}S + \frac{2}{6}S + \frac{1}{6}S\right) = 930000$$

$$S + \frac{r}{100}\cdot \frac{6+5+4}{6}S + \frac{15}{100}\cdot \frac{3+2+1}{6}S = 930000$$

$$600S + 15rS + 90S = 930000 \cdot 600$$

Отсюда $r$ равно

$$r = \frac{930000 \cdot 600 - 690S}{15S} = \frac{930000 \cdot 600 - 690 \cdot 600000}{15 \cdot 600000} = 16$$

Ответ: 16

Преобразуем уравнение к виду

$$f(x)=a|x+1|+(1-a)|x-1|=-2$$

Рассмотрим случаи раскрытия модулей, чтобы привести функцию к кусочно-заданному виду:

Раскроем модули в зависимости от принадлежности $x$ к одному из трех промежутков:

$$x\geq 1 \;\Rightarrow\; f(x)=a\cdot(x+1)+(1-a)\cdot(x-1)=x+2a-1$$

$$x\in[-1;1) \;\Rightarrow\; f(x)=a\cdot(x+1)-(1-a)(x-1)=x\cdot(2a-1)+1$$

$$x<-1 \;\Rightarrow\; f(x)=-a\cdot(x+1)-(1-a)\cdot(x-1)=-x-2a+1$$

Резюмируя, получим

$$f(x)=a|x+1|+(1-a)|x-1|= \begin{cases} -x-2a+1, & x<-1 \\ (2a-1)x+1, & -1\leq x<1 \\ x+2a-1, & x\geq 1 \end{cases}$$

Найдем координаты точек излома функции $f$ :

$$f(1)=x+2a-1=1+2a-1=2a$$

$$f(-1)=(2a-1)x+1=(2a-1)(-1)+1=-2a+1+1=2-2a$$

Мы получили, что на первом промежутке функция линейно возрастающая, на третьем — линейно убывающая. На втором промежутке $[-1;1]$ функция также линейная. Более того, коэффициент при $x$ зависит от параметра $a$, поэтому заранее мы не знаем, убывает или возрастает наша функция на втором промежутке. Рассмотрим три возможных случая.

• Функция возрастает на отрезке $[-1;1]$, то есть

$$2a-1>0 \;\Leftrightarrow\; a>\frac12$$

В этом случае график примет следующий вид (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

Таким образом, уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая $y=-2$ проходит выше левой точки излома графика, то есть

$$-2>-2a+2 \;\Leftrightarrow\; a>2$$

Пересекая с условием $a>\frac12$, получаем $a\in(2;+\infty)$.

• Функция убывает на отрезке $[-1;1]$, то есть

$$2a-1<0 \;\Leftrightarrow\; a<\frac12$$

В этом случае график примет следующий вид (оси изображены для удобства, мы не знаем, как график будет располагаться относительно них и не пользуемся этим):

Таким образом, уравнение будет иметь ровно два различных решения, если горизонтальная прямая $y=-2$ проходит выше правой точки излома графика, то есть

$$-2>2a \;\Leftrightarrow\; a<-1$$

Пересекая с условием $a<\frac12$, получаем $a\in(-\infty;-1)$.

• Коэффициент при $x$ зануляется, то есть

$$2a-1=0 \;\Leftrightarrow\; a=\frac12$$ Подставив это значение параметра $a$ в исходное уравнение, получим

$$\frac12|x+1|+\frac12|x-1|=-2$$

Левая часть этого уравнения неотрицательна, так как является суммой двух модулей, а правая отрицательна. Значит, при таком значении $a$ уравнение не имеет решений, и это значение $a$ нам не подходит.

Тогда исходное уравнение имеет ровно два различных корня при

$$a\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$

Ответ:

$$a\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty)$$

а) Заметим, что сумма цифр имеет такой же остаток при делении на 3, как и само число. Следовательно, все написанные на доске числа имеют одинаковый остаток при делении на 3. Приведем пример, где числа имеют остаток 2 при делении на 3: 2009, 11 (сумма цифр числа 2009) и 2 (сумма цифр числа 11). Их сумма действительно равна 2022. Следовательно, ответ: да, может.

б) Так как все три числа имеют одинаковый остаток при делении на 3, то их сумма делится на 3. Но число 2021 на 3 не делится (по признаку делимости на 3: сумма его цифр равна 5, что не делится на 3). Следовательно, ответ: нет, не может.

в) Заметим, что сумма цифр любого трехзначного числа не превосходит 27 (трехзначное число с максимальными цифрами, — это 999). Сумма цифр числа, не превосходящего 27, может быть равна числу 2 только для чисел 2, 11 или 20. Так как все три числа, написанные на доске, различны, то второе число может равняться либо 11, либо 20. Таким образом, общее количество подходящих троек равно сумме числа троек, где второе число равно 11, а третье равно 2, и числа троек, где второе число равно 20, а третье равно 2.

Найдем количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11.

Если первая цифра числа равна 1, то таких чисел девять: 119, 128, 137, 146, 155, 164, 173, 182, 191. Если первая цифра числа равна 2, то таких чисел десять: 209, 218, 227, 236, 245, 254, 263, 272, 281, 290. Если первая цифра числа равна 3, то таких чисел девять: 308, 317, 326, 335, 344, 353, 362, 371, 380. Если первая цифра числа равна 4, то таких чисел восемь: 407, 416, 425, 434, 443, 452, 461, 470. Если первая цифра числа равна 5, то таких чисел семь: 506, 515, 524, 533, 542, 551, 560. Если первая цифра числа равна 6, то таких чисел шесть: 605, 614, 623, 632, 641, 650. Если первая цифра числа равна 7, то таких чисел пять: 704, 713, 722, 731, 740. Если первая цифра числа равна 8, то таких чисел четыре: 803, 812, 821, 830. Если первая цифра числа равна 9, то таких чисел три: 902, 911, 920. Таким образом, количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 11, равно

$9+ 10+ 9+ 8+ 7 +6 +5 +4 +3 = 9 + \frac{10+3}{2}\cdot 8 = 9 + 13 \cdot 4 = 61$

Найдем количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20.

Если первая цифра числа равна 1, то таких чисел нет (так как сумма двух оставшихся цифр максимум может быть равна 9+ 9= 18< 19 ). Если первая цифра числа равна 2, то такое число одно: 299. Если первая цифра числа равна 3, то таких чисел два: 398, 389. Если первая цифра числа равна 4, то таких чисел три: 497, 488, 479. Если первая цифра числа равна 5, то таких чисел четыре: 596, 587, 578, 569. Если первая цифра числа равна 6, то таких чисел пять: 695, 686, 677, 668, 659. Если первая цифра числа равна 7, то таких чисел шесть: 794, 785, 776, 767, 758, 749. Если первая цифра числа равна 8, то таких чисел семь: 893, 884, 875, 866, 857, 848, 839. Если первая цифра числа равна 9, то таких чисел восемь: 992, 983, 974, 965, 956, 947, 938, 929. Таким образом, получаем, что количество трехзначных чисел, сумма цифр каждого из которых равна 20, равно

$1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 6+ 7+ 8 = \frac{1+8}{2} \cdot 8 = 9 \cdot 4 = 36.$ Следовательно, искомое количество троек равно 61+ 36= 97.

Ответ: а) Да

б) Нет

в) 97

Найдем корень уравнения:

$$\sqrt{53-4x}=7 \Leftrightarrow 53-4x=49 \Leftrightarrow 4x=53-49 \Leftrightarrow 4x=4 \Leftrightarrow x=1.$$