Произведение и экспонента

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-2)^2e^{x-2}\right)' = 2(x-2)e^{x-2} + (x-2)^2e^{x-2} =$$

$$= e^{x - 2}(x - 2)(x - 2 + 2)= e^{x-2}(x - 2)x$$

1. Найдём нули производной: $$e^{x-2}(x - 2)x = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ ($e^{x - 2} > 0$ при любых $x$, на отрезке попадает $x=2$)

2. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,2]$ и возрастает на $[2,4]$, следовательно наименьшее значение в точке $x=2$: $$y(2) = (0)^2e^{0} = 0$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-2)^2e^x\right)' = 2(x-2)e^x + (x-2)^2e^x = e^x(x^2-2x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^x(x^2-2x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 2$$ (на отрезке попадает $x=0$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-5,0]$ и убывает на $[0,1]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=0$: $$y(0) = (4)e^{0} = 4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+3)^2e^{-3-x}\right)' = 2(x+3)e^{-3-x} - (x+3)^2e^{-3-x} = e^{-3-x}(-x^2-4x-3)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{-3-x}(-x^2-4x-3) = 0 \Leftrightarrow -x^2 -4x - 3 = 0 \Rightarrow x = -3 \text{ или } x = -1$$

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[-5,-3]$ и возрастает на $[-3,-1]$, следовательно наименьшее значение в точке $x=-3$: $$y(-3) = (0)^2e^{0} = 0$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+6)^2e^{-4-x}\right)' = 2(x+6)e^{-4-x} - (x+6)^2e^{-4-x} = e^{-4-x}(x + 6)(2 - x - 6) = e^{-4-x}(x + 6)(-4 -x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{-4-x}(-x^2-10x-24) = 0 \Rightarrow x = -6, x = -4 (e^{-4 -x} > 0)$$

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-6,-4]$ и убывает на $[-4,-1]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=-4$ (точка максимума).

1. Вычислим значение функции в точке х = -4: $$y(-4) = (2)^2e^{0} = 4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x+8)^2 e^{3-x}\right)' = 2(x+8)e^{3-x} - (x+8)^2 e^{3-x}$$ $$= e^{3-x}(x+8)(2 - (x+8)) = e^{3-x}(x+8)(-x-6)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{3-x}(x+8)(-x-6) = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -8 \;\text{или}\; x = -6$$ (так как $e^{3-x} > 0$ при всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает при $x<-8$, возрастает при $-8<x<-6$ и снова убывает при $x>-6$, поэтому точка $x=-6$ является точкой максимума.