Произведение и экспонента

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x-9)e^{10-x}\right)' = e^{10-x} - (x-9)e^{10-x} = e^{10 - x}(1 - x + 9) = e^{10-x}(10 - x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{10-x}(10 - x) = 0 \Rightarrow x = 10$$ (так как $e^{10-x} > 0$ для всех $x$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-11,10]$ и убывает на $[10,11]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (10-9)e^{0} = 1$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3x^2-36x+36)e^{x-10}\right)' = (6x-36)e^{x-10} + (3x^2-36x+36)e^{x-10} =$$ $$= e^{x - 10}(3x^2 - 36x + 36 + 6x -36) = e^{x-10}(3x^2-30x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{x-10}(3x^2-30x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке только $x=10$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[8,10]$ и возрастает на $[10,11]$, поэтому наименьшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (300-360+36)e^{0} = -24$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((3x^2-36x+36)e^x\right)' = (6x-36)e^x + (3x^2-36x+36)e^x =$$ $$= e^x(3x^2 - 36x + 36 + 6x - 36)= e^x(3x^2-30x)$$

2. Найдём нули производной: $$e^x(3x^2-30x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке только $x=0$)

3. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[-1,0]$ и убывает на $[0,4]$, поэтому наибольшее значение в точке $x=0$: $$y(0) = (0-0+36)e^{0} = 36$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x^2-8x+8)e^{2-x}\right)' = (2x-8)e^{2-x} - (x^2-8x+8)e^{2-x} = e^{2-x}(-x^2+10x-16)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{2-x}(-x^2+10x-16) = 0 \Rightarrow x = 2 \text{ или } x = 8$$ (на отрезке только $x=2$)

3. Анализ поведения функции:

Функция убывает на $[1,2]$ и возрастает на $[2,7]$. Функция имеет минимум в точке х = 2, следовательно минимальное значение функции на отрезке [1; 7] будет в точке х = 2: $$y(2) = (4-16+8)e^{0} = -4$$

1. Найдём производную функции: $$y' = \left((x^2-10x+10)e^{10-x}\right)' = (2x-10)e^{10-x} - (x^2-10x+10)e^{10-x} =$$ $$= e^{10 - x}(-x^2 + 10x + -10 + 2x - 10) = e^{10-x}(-x^2+12x-20)$$

2. Найдём нули производной: $$e^{10-x}(-x^2+12x-20) = 0 \Leftrightarrow -x^2+12x-20 = 0$$ $e^{10 -x} > 0$ при любых $x$

Решая квадратное уравнение получаем: $$x = 2 \text{ или } x = 10$$ (на отрезке попадает $x=10$)

1. Анализ поведения функции:

Функция возрастает на $[5,10]$ и убывает на $[10,11]$, следовательно наибольшее значение в точке $x=10$: $$y(10) = (100-100+10)e^{0} = 10$$