Произвольные фигуры

Треугольники $ABC$ и $EDC$ подобны с коэффициентом подобия: $\frac{ED}{AB} = \frac{1}{2}$ так как $ED$ – средняя линия треугольника $ABC$.

Площади подобдных фигур относятся как коэффициент подобия в квадрате:

$$\frac{S_{ECD}}{S_{ABC}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \Leftrightarrow S_{ECD} = \frac{S_{ABC}}{4} = \frac{10}{4} = 2,5$$

Найдём площадь трапеции $ABDE$:

$$S_{ABDE} = S_{ABC} - S_{ECD} = 10 - 2,5 = 7,5$$

Данный четырехугольник будет состоять из средних линий треугольников: $ABC$, $BCD$, $ACD$ и $ABD$.

Следовательно его стороны равны половинам оснований треугольников (как средние линии), а именно $\frac{BD}{2}$ и $\frac{AC}{2}$.

Тогда периметр искомого четырехугольника равен:

$$P = \frac{AC}{2} + \frac{BD}{2} + \frac{AC}{2} + \frac{BD}{2} = AC + BD = 4 + 5 = 9$$

Заметим, что углы треугольников $AFD$ и $DEB$ равны углам треугольника $ABC$, так как прямые $FD$ и $DE$ параллельны его сторонам.

Значит, так как треугольник $ABC$ равнобедренный:

$$AF = FD$$ $$DE = FC \quad \text{так как } FCED \text{ параллелограмм }$$

Найдём периметр $FCED$:

$$P_{FCED} = 2(FD + DE) = 2(FC + AF) = 2\cdot 10 = 20$$

Площадь треугольника связана с его полупериметром и радиусом вписанной окружности формулой: $$S = r \cdot p$$ где $p = \frac{P}{2} = \frac{12}{2} = 6$ - полупериметр.

Тогда: $$S = 1 \cdot 6 = 6$$

Используем формулу связи площади, радиуса и полупериметра: $$S = r \cdot p$$ $$24 = 2 \cdot p \Rightarrow p = 12$$

Тогда периметр: $$P = 2p = 2 \cdot 12 = 24$$