Прямоугольные треугольники

$$BH = AB - AH$$

$$AH = AC\cos A$$

$$AC = AB\cos A \Rightarrow AH = AB\cos^2 A$$

Воспользуемся формулой: $\cos^2a = \frac{1}{1 + \tg^2a}$

$$AH = 13\cdot\frac{1}{1 + 5^2} = 13\cdot\frac{1}{26} = 0,5$$

$$BH = AB - AH = 13 - 0,5 = 12,5$$

$$AH = AC\cdot\cos A$$

$$AC = AB\cdot\cos A \Rightarrow AH = AB\cdot\cos^2A = 27(1 - \sin^2A) = 27 - 27\cdot\frac{4}{9} = 27 - 12 = 15$$

$$BH = AB - AH = 27 - 15 = 12$$

1. Найдем катет $BC$: $$BC = AB \cdot \sin A = 4 \sqrt{15} \cdot 0,25 = \sqrt{15}$$

2. Найдем катет $AC$: $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{(4 \sqrt{15})^2 - (\sqrt{15})^2} = \sqrt{240 - 15} = \sqrt{225} = 15$$

3. Найдем высоту $CH$: $$CH = AC\sin A = \frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{15 \cdot \sqrt{15}}{4 \sqrt{15}} = \frac{15}{4} = 3,75$$

$$AH = AC\cdot\cos A$$

$$AC = AB\cdot\cos A \Rightarrow AH = AB\cdot\cos^2A = 27(1 - \sin^2A) = 27 - 27\cdot\frac{4}{9} = 27 - 12 = 15$$

$$\cos A = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{8} = 0,5$$