Совместная работа

Обозначим за $D$ производительность Даши, а объём работы возьмём равный $1$.

Составим уравнение: $$\frac{1}{D} + \frac{1}{20} = \frac{1}{12}$$ $$\frac{1}{D} = \frac{1}{12} - \frac{1}{20} = \frac{5}{60} - \frac{3}{60} = \frac{2}{60} = \frac{1}{30}$$

Тогда время, за которое Даша прополет гарядку одна равно: $$\frac{1}{\frac{1}{D}} = \frac{1}{\frac{1}{30}} = 30 \text{ минут}$$

Переведём время в часы: $$3 \text{ ч } 36 \text{ мин} = 3.6 \text{ часа}$$

Обозначим за $T$ производительность второй трубы, а объём бассейна возьмём за $1$.

Найдём производительность обеих труб: $$\frac{1}{6} + \frac{1}{T} = \frac{1}{3.6}$$ $$\frac{1}{T} = \frac{5}{18} - \frac{1}{6} = \frac{5}{18} - \frac{3}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$

Тогда вторая труба наполнит бассейн за: $$\frac{1}{\frac{1}{9}} = 9 \text{ часов}$$

Пусть вторая труба наполняет за $x$ минут, тогда первая — за $x+6$ минут.

Обе трубы вместе наполняют резервуар за $4$ минуты: $$\frac{1}{x} + \frac{1}{x+6} = \frac{1}{4}$$ $$4(x+6) + 4x = x(x+6)$$ $$x^2 - 2x - 24 = 0$$ Решая квадратное уравнение, получаем корни: $$x = 6, \quad x = -4$$ По смыслу задачи нам подходит только корень $x = 6$.

Пусть $t$ — время совместной работы насосов (в минутах). Найдём производительность каждого насоса:

• Производительность первого насоса: $\frac{5}{2}$ л/мин.
• Производительность второго насоса: $\frac{5}{3}$ л/мин.

Совместная производительность: $$\frac{5}{2} + \frac{5}{3} = \frac{15}{6} + \frac{10}{6} = \frac{25}{6} \text{ л/мин.}$$

Для перекачки $25$ литров потребуется: $$t = \frac{25}{\frac{25}{6}} = 6 \text{ минут.}$$

Пусть производительности насосов: $A$, $B$, $C$ (бассейнов/мин). Объём бассейна возьмём за 1. Тогда:

$$\begin{cases} A + B = \dfrac{1}{9} \\ B + C = \dfrac{1}{14} \\ A + C = \dfrac{1}{18} \end{cases}$$ Суммируем уравнения: $$2(A + B + C) = \frac{1}{9} + \frac{1}{14} + \frac{1}{18} = \frac{14 + 9 + 7}{126} = \frac{30}{126} = \frac{5}{21}.$$ Совместная производительность: $$A + B + C = \frac{5}{42} \text{ бассейнов/мин.}$$ Время наполнения: $$\frac{1}{\frac{5}{42}} = \frac{42}{5} = 8.4 \text{ минут.}$$