Тригонометрические уравнения и неравенства

Небольшой мячик бросают под острым углом $\alpha$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика, выраженная в метрах, определяется формулой: $$H = \frac{v_0^2}{4g}(1 - \cos \alpha)$$ где $v_0 = 26 \, \text{м/с}$ - начальная скорость. При каком наименьшем значении угла $\alpha$ (в градусах) мячик пролетит над стеной высотой 7,45 м на расстоянии 1 м? Считайте, что ускорение свободного падения $g = 10 \, \text{м/с}^2$.

Источник: БАНК ФИПИ.

Два тела массой $m = 2$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 8 \, \text{м/с}$ под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле: $$Q = mv^2 \sin^2 \alpha$$ Найдите, под каким углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная 32 Дж.

Источник: БАНК ФИПИ.

Груз массой $0{,}16$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v = v_0 \cos \frac{2\pi t}{T}$$ где $t$ - время с момента начала колебаний, $T = 2$ с - период колебаний, $v_0 = 1{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле: $$E = \frac{mv^2}{2}$$ Найдите кинетическую энергию груза через 20 секунд после начала колебаний.

Источник: БАНК ФИПИ.

При нормальном падении света с длиной волны $\lambda = 400$ нм на дифракционную решётку с периодом $d$ нм наблюдают серию дифракционных максимумов. При этом угол $\varphi$ (отсчитываемый от перпендикуляра к решётке), под которым наблюдается максимум, и номер максимума $k$ связаны соотношением $d \sin \varphi = k\lambda$. Под каким минимальным углом $\varphi$ (в градусах) можно наблюдать второй максимум на решётке с периодом, не превосходящим 1600 нм?

Источник: БАНК ФИПИ.

Катер должен пересечь реку шириной $L = 100$ м со скоростью течения $u = 0{,}5$ м/с так, чтобы причалить точно напротив места отправления. Время в пути определяется выражением $t = \frac{L}{u} \ctg \alpha$, где $\alpha$ - острый угол между направлением движения и берегом. Под каким минимальным углом $\alpha$ (в градусах) нужно плыть, чтобы время в пути было не больше 200 с?

Источник: БАНК ФИПИ.