Тригонометрические уравнения и неравенства

Скорость груза изменяется по закону $v(t) = 5 \sin \pi t$ см/с. Найти долю времени из первой секунды, когда скорость была не менее 2,5 см/с. Ответ округлить до сотых.

Источник: БАНК ФИПИ.

Деталью некоторого прибора является квадратная рамка с намотанным на неe проводом, через который пропущен постоянный ток. Рамка помещена в однородное магнитное поле так, что она может вращаться. Момент силы Ампера, стремящейся повернуть рамку (в Нм), определяется формулой $M = NIBl^2\sin\alpha$, где $I = 2A$  — сила тока в рамке, $B = 3\cdot10^{-3}$ Тл  — значение индукции магнитного поля, $l = 0,5$ м  — размер рамки,  $N = 1000$  — число витков провода в рамке, $\alpha$ — острый угол между перпендикуляром к рамке и вектором индукции. При каком наименьшем значении угла (в градусах) рамка может начать вращаться, если для этого нужно, чтобы раскручивающий момент $M$ был не меньше 0,75 $H\cdot$м ?

Источник: БАНК ФИПИ.

Датчик сконструирован таким образом, что его антенна ловит радиосигнал, который затем преобразуется в электрический сигнал, изменяющийся со временем по закону $U = U_0\cdot \sin (\omega t + φ)$ где t  — время в секундах, амплитуда $U_0$ =  2 В, частота $ω  =  120°$/с, фаза $ φ  =  –30°$. Датчик настроен так, что если напряжение в нeм не ниже чем 1 В, загорается лампочка. Какую часть времени (в процентах) на протяжении первой секунды после начала работы лампочка будет гореть?

Источник: БАНК ФИПИ.

Груз массой $0{,}08$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону: $$v = v_0 \sin\frac{2\pi t}{T}$$ где $t$ - время с момента начала колебаний, $T = 12$ с - период колебаний, $v_0 = 0{,}5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле: $$E = \frac{mv^2}{2}$$ Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунд после начала колебаний.

Источник: БАНК ФИПИ.

Два тела массой $m=2$ кг каждое, движутся с одинаковой скоростью $v=10$ м/с под углом $2\alpha$ друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, определяется выражением

$$Q=mv^2\sin^2\alpha.$$ Под каким наименьшим углом $2\alpha$ (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате столкновения выделилось не менее $50$ Дж?