Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Раскроем синус суммы: $$2\sqrt{3}\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) - \cos 2x = 3\cos x - 1$$ $$\sqrt{3}\sin x + 3\cos x - \cos 2x = 3\cos x - 1$$ $$\sqrt{3}\sin x - \cos 2x + 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$\sqrt{3}\sin x - (1 - 2\sin^2 x) + 1 = 0$$ $$2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $\pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, 3\pi, \frac{10\pi}{3}$

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin 2x \cos\frac{\pi}{3} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3}\sin x = \sin 2x + \sqrt{3}$$ $$\sin 2x + \sqrt{3}\cos 2x - \sqrt{3}\sin x = \sin 2x + \sqrt{3}$$ $$\sqrt{3}\cos 2x - \sqrt{3}\sin x = \sqrt{3}$$ $$\cos 2x - \sin x = 1$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$1 - 2\sin^2 x - \sin x = 1$$ $$-2\sin^2 x - \sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + 1) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{19\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, 3\pi, \frac{19\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pi k; -\frac{\pi}{6} + 2\pi n; -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, \frac{19\pi}{6}, 3\pi$

Используем формулу синуса суммы: $$\sin\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin x \cos\frac{\pi}{4} + \cos x \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ Подставим в уравнение: $$\cos^2x + \sin x = \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x + \cos x)$$ $$\cos^2x + \sin x = \sin x + \cos x$$ $$\cos^2x - \cos x = 0$$ $$\cos x (\cos x - 1) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-4\pi; -\frac{5\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-4\pi, -\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2}$

Упростим уравнение, используя свойства чётности/нечётности тригонометрических функций: $$\sin 2x + 2\sin x - \cos x - 1 = 0$$ Выразим $\sin 2x$: $$2\sin x \cos x + 2\sin x - \cos x - 1 = 0$$ $$(2\sin x - 1)(\cos x + 1) = 0$$ $$\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad \cos x = -1$$ $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, \quad x = \pi + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi;-\frac{3\pi}{2}\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k; \pi + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -\frac{11\pi}{6}$

Упростим уравнение: $$2\cos^2x + 3\sin x - 3 = 0$$ Выразим $\cos^2x$ через $\sin x$: $$2(1 - \sin^2x) + 3\sin x - 3 = 0$$ $$-2\sin^2x + 3\sin x - 1 = 0$$ $$2\sin^2x - 3\sin x + 1 = 0$$ $$\sin x = 1 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{5\pi}{2}, \frac{17\pi}{6}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{5\pi}{2}, \frac{17\pi}{6}$