Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Используем формулу приведения: $$\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$$ Подставим в уравнение: $$7\cos x + 4\sqrt{3}\sin x \cos x - 4\cos^3 x = 0$$ $$\cos x (7 + 4\sqrt{3}\sin x - 4\cos^2 x) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad 7 + 4\sqrt{3}\sin x - 4(1 - \sin^2 x) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & 4\sin^2 x + 4\sqrt{3}\sin x + 3 = 0\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & (2\sin x + \sqrt3)^2 = 0\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \cos x = 0 \\ & \sin x = -\frac{\sqrt3}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + \pi k \\ & x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n\\ & x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k, n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{7\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{2},-\frac{7\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2}$$

Ответ: а) $x = \frac{\pi}{2} + \pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{7\pi}{3}, -\frac{8\pi}{3}, -\frac{3\pi}{2}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x + \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$$ $$-\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$3\pi, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, 4\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; -\frac{\pi}{3} + 2\pi n; -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $3\pi, \frac{10\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, 4\pi$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$2\sin^2 x - \sqrt{3}\sin x = 0$$ $$\sin x (2\sin x - \sqrt{3}) = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{7\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 3\pi$$

Ответ: а) $x = \pi k; \frac{\pi}{3} + 2\pi n; \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, \frac{7\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}, 3\pi$

Используем формулу для $\cos 2x$: $$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$$ Подставим в уравнение: $$2(2\cos^2 x - 1) + 4\sqrt{3}\cos x - 7 = 0$$ $$4\cos^2 x + 4\sqrt{3}\cos x - 9 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x \in [-1; 1]$: $$4t^2 + 4\sqrt{3}t - 9 = 0$$ $$D = 48 + 144 = 192$$ $$t = \frac{-4\sqrt{3} \pm 8\sqrt{3}}{8}$$ $$t = \frac{\sqrt{3}}{2} \quad \text{или} \quad t = -\frac{3\sqrt{3}}{2} \notin [-1; 1]$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{5\pi}{2}; 4\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$-\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6}$$

Корень, принадлежащий отрезку: $$\frac{23\pi}{6}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{23\pi}{6}$

Раскроем синус суммы: $$\sqrt{2}(\sin 2x \cos\frac{\pi}{4} + \cos 2x \sin\frac{\pi}{4}) + \sqrt{2}\cos x = \sin 2x - 1$$ $$\sin 2x + \cos 2x + \sqrt{2}\cos x = \sin 2x - 1$$ $$\cos 2x + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ Используем формулу для $\cos 2x$: $$2\cos^2 x - 1 + \sqrt{2}\cos x + 1 = 0$$ $$2\cos^2 x + \sqrt{2}\cos x = 0$$ $$\cos x (2\cos x + \sqrt{2}) = 0$$ $$\cos x = 0 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k,n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{5\pi}{2}, -\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{4}$