Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$1 - 2\sin^2 x + 3\sin x - 2 = 0$$ $$-2\sin^2 x + 3\sin x - 1 = 0$$ $$2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & \sin x = 1 \\ & \sin x = \frac{1}{2}\\ \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \\ & x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\\ & x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\\ \end{aligned} \right., k,n \in Z$$

б) Найдём корни на отрезке $[\pi; \frac{5\pi}{2}]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{2}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{2} + 2\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi n; \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{13\pi}{6}, \frac{5\pi}{2}$

Выразим $\sin^2x$ через $\cos x$: $$2\cos x + 1 - \cos^2x = 2\cos^3x$$ $$2\cos^3x + \cos^2x - 2\cos x - 1 = 0$$ Сделаем замену $t = \cos x$: $$2t^3 + t^2 - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow 2t(t^2 - 1) + t^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (t - 1)(t + 1)(2t + 1) = 0$$ $$t = -1 \quad \text{или} \quad t = 1 \quad \text{или} \quad t = -\frac{1}{2}$$ $$\cos x = -1 \quad \text{или} \quad \cos x = 1 \quad \text{или} \quad \cos x = -\frac{1}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n, \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{9\pi}{2}; -3\pi\right]$ при помощи тригонометрической окружности:

$$\frac{2\pi}{3} - 4\pi = -\frac{10\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-4\pi, -3\pi, -\frac{10\pi}{3}$$

Ответ: а) $x = \pi k, \quad x = \pm\frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad k, n, \in \mathbb{Z} ;$ б) $-4\pi, -3\pi, -\frac{10\pi}{3}$

Используем формулу понижения степени: $$8 \cdot \frac{1 - \cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2x\right)}{2} - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5$$ $$4 - 4\cos\left(\frac{7\pi}{6} + 2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 5$$ Раскроем косинус суммы: $$-4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x + \frac{1}{2}\sin 2x\right) - 2\sqrt{3}\cos 2x = 1$$ $$2\sqrt{3}\cos 2x - 2\sin 2x - 2\sqrt{3}\cos 2x = 1$$ $$2\sin 2x = -1$$ $$\sin 2x = -\frac{1}{2}$$ $$2x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k, \quad 2x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k$$ $$x = -\frac{\pi}{12} + \pi k, \quad x = -\frac{5\pi}{12} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{7\pi}{2}; -\frac{5\pi}{2}\right]$:

$$-\frac{\pi}{12} - 3\pi = -\frac{37\pi}{12}$$ $$-\frac{5\pi}{12} - 3\pi = -\frac{41\pi}{12}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\frac{37\pi}{12}, -\frac{41\pi}{12}$$

Ответ: а) $-\frac{\pi}{12} + \pi k, -\frac{5\pi}{12} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\frac{37\pi}{12}, -\frac{41\pi}{12}$

Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$2\sin^3x - \sqrt{2}(1 - 2\sin^2x) + \sin x + \sqrt{2} = 0$$ $$2\sin^3x + 2\sqrt{2}\sin^2x + \sin x = 0$$ $$\sin x(2\sin^2x + 2\sqrt{2}\sin x + 1) = 0 \Leftrightarrow\sin x(\sqrt2\sin x + 1)^2 = 0$$ $$\sin x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$x = \pi k, \quad x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad x = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad k, n \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{3\pi}{2}; 3\pi\right]$:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{7\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$2\pi, 3\pi, \frac{7\pi}{4}$$

Ответ: а) $\pi k; -\frac{\pi}{4} + 2\pi n; -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n, k,n \in \mathbb{Z};$ б) $2\pi, 3\pi, \frac{7\pi}{4}$

Раскроем синус суммы: $$2\left(\sin x \cos\frac{\pi}{3} + \cos x \sin\frac{\pi}{3}\right) + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \sqrt{3}\cos x + \cos 2x = \sqrt{3}\cos x + 1$$ $$\sin x + \cos 2x = 1$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$\sin x + 1 - 2\sin^2 x = 1$$ $$-2\sin^2 x + \sin x = 0$$ $$\sin x(-2\sin x + 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \frac{1}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \\ &x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

$$\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{11\pi}{6}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$$

Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{6} + 2\pi k; \frac{5\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -2\pi, -\frac{11\pi}{6}$