Тригонометрические уравнения однородные и неоднородные

Перенесём все члены в одну сторону: $$\cos x \cos 2x - \sqrt{2}\sin^2 x - \cos x = 0$$ $$\cos x (\cos 2x - 1) - \sqrt{2}\sin^2 x = 0$$ Выразим $\cos 2x$ через $\sin x$: $$\cos x (-2\sin^2 x) - \sqrt{2}\sin^2 x = 0$$ $$\sin^2 x (-2\cos x - \sqrt{2}) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-\frac{5\pi}{2}; -\pi\right]$:

$$\frac{3\pi}{4} - 2\pi = -\frac{5\pi}{4}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-\pi, -\frac{5\pi}{4}, -2\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \pm\frac{3\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-\pi, -\frac{5\pi}{4}, -2\pi$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$ Подставим в уравнение: $$\sin 2x + 2\sin x = \sqrt{3}\cos x + \sqrt{3}$$ $$2\sin x \cos x + 2\sin x - \sqrt{3}\cos x - \sqrt{3} = 0$$ $$(2\sin x - \sqrt{3})(\cos x + 1) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ &\cos x = -1 \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k \\ &x = \pi + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[-3\pi; -\frac{3\pi}{2}\right]$:

$$\frac{\pi}{3} - 2\pi = -\frac{5\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$-3\pi, -\frac{5\pi}{3}$$

Ответ: а) $\frac{\pi}{3} + 2\pi k; \frac{2\pi}{3} + 2\pi k; \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $-3\pi, -\frac{5\pi}{3}$

Используем формулу понижения степени для синуса: $$4\cdot\frac{1 - \cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right)}{2} + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$2 - 2\cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin 2x = 1$$ $$-2\cos\left(2x + \frac{7\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$

Раскроем косинус суммы: $$-2\left(\cos 2x \cos\frac{7\pi}{4} - \sin 2x \sin\frac{7\pi}{4}\right) + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$ Упростим тригонометрические функции: $$-2\left(\cos 2x \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} - \sin 2x \cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$ $$-\sqrt{2}\cos 2x - \sqrt{2}\sin 2x + \sqrt{2}\sin 2x = -1$$ $$-\sqrt{2}\cos 2x = -1$$ $$\cos 2x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$

Решаем полученное уравнение: $$2x = \pm\frac{\pi}{4} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ $$x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{9\pi}{2}; 6\pi\right]$:

$$\frac{\pi}{8} + 5\pi = \frac{41\pi}{8}$$ $$-\frac{\pi}{8} + 6\pi = \frac{47\pi}{8}$$ $$-\frac{\pi}{8} + 5\pi = \frac{39\pi}{8}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{39\pi}{8}, \frac{41\pi}{8}, \frac{47\pi}{8}$$

Ответ: а) $x = \pm\frac{\pi}{8} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{39\pi}{8}, \frac{41\pi}{8}, \frac{47\pi}{8}$

Используем формулу приведения: $$\cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin x$$ Подставляем в уравнение: $$4\sin^3x = 3\sin x$$ $$4\sin^3x - 3\sin x = 0$$ $$\sin x(4\sin^2x - 3) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &\sin x = \pm\frac{\sqrt{3}}{2} \end{aligned} \right. \Rightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \frac{\pi}{3} + \pi k \\ &x = \frac{2\pi}{3} + \pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\frac{7\pi}{2}; \frac{9\pi}{2}\right]$:

$$\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{13\pi}{3}$$ $$\frac{2\pi}{3} + 3\pi = \frac{11\pi}{3}$$

Корни, принадлежащие отрезку: $$\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, 4\pi$$

Ответ: а) $\pi k; \frac{\pi}{3} + \pi k; \frac{2\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z};$ б) $\frac{11\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, 4\pi$

Вынесем $\sin x$ за скобки: $$\sin x(4\cos^2x - 4\sqrt{3}\cos x + 3) = 0$$ $$\left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &4\cos^2x - 4\sqrt{3}\cos x + 3 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sin x = 0 \\ &(2\cos x - \sqrt3)^2 = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$

$$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \pi k \\ &x = \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k \end{aligned} \right., \quad k \in \mathbb{Z}$$

Ответ: $\pi k; \pm\frac{\pi}{6} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$