Уравнения с параметром

Заметим, что уравнение всегда имеет как минимум один корень $x=2$.

Заметим, что корни уравнения должны удовлетворять условию $2-x\ge 0$.

Решим уравнение $4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2=0$. Если сделать замену $2^x=t$, причем $t>0$, то уравнение примет вид $$t^2-3t+a(3-a)=0.$$

По теореме Виета корнями (необязательно различными) будут $$t_1=a \quad \text{и} \quad t_2=3-a.$$

То есть $2^x=a$ и $2^x=3-a$. Заметим, что если, например, $a\le 0$, то уравнение $2^x=a$ не имеет решений. В противном случае оно будет иметь решение $x=\log_2 a$.

Число $x=2$ будет являться решением уравнений $2^x=a$ или $2^x=3-a$, если $a=4$ или $3-a=4$ соответственно.

Таким образом, исходное уравнение $$\left(4^x-3\cdot 2^x+3a-a^2\right)\cdot\sqrt{2-x}=0$$ будет иметь два различных корня в следующих двух случаях.

1. $a\ne 3-a$. Тогда либо один из корней $a$ или $3-a$ должен оказаться $\le 0$, давая противоречие с условием $t>0$; либо один из корней $a$ или $3-a$ должен оказаться $=4$, поскольку при $x>4$ он не будет удовлетворять условию $2-x\ge 0$, а при $=4$ будет совпадать с уже имеющимся корнем $x=2$. При этом другой корень должен оказаться $>0$ и $<4$.

Это условие задается совокупностью: $$\left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{aligned} \left[ \begin{aligned} &a\le 0\\ &a\ge 4 \end{aligned} \right.\\ &0<3-a<4 \end{aligned} \right.\\[1.5ex] \left\{ \begin{aligned} \left[ \begin{aligned} &3-a\le 0\\ &3-a\ge 4 \end{aligned} \right.\\ &0<a<4 \end{aligned} \right. \end{gathered} \right.$$

Решением совокупности будут $$a\in(-1;0]\cup[3;4)$$

1. $a=3-a$, $a>0$ и $a<4$. Следовательно, $a=1{,}5$.

Объединяя случаи, получаем окончательно $$a\in(-1;0]\cup\{1{,}5\}\cup[3;4)$$

Ответ: $$a\in(-1;0]\cup\{1{,}5\}\cup[3;4)$$

Решение:

Система определена при выполнении условия $y \geq x - 8$.

Тогда система равносильна: $$\begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &xy - x + 8 = 0\\ &y - x + 8 = 0 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} y \geq x - 8\\ \left[\begin{aligned} &y= 1 - \frac{8}{x}\\ &y = x - 8 \end{aligned}\right.\\ y = 2x + a \end{cases}$$

Полученная система имеет ровно два решения, когда $y=2x + a$ - семейство прямых имеет с графиком системы ровно две общие точки. Найдём граничные точки и определим количество решений для всех $a$:

До положения $1$ прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, следовательно система будет иметь ровно 1 решение, что нам не подходит.

От положения $1$ не включительно до положения $2$ включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать прямую $y = x - 8$ и правую ветвь гиперболы $y = 1 - \frac{8}{x}$, следовательно система будет иметь ровно 2 решения, что нам подходит.

В положении $2$ прямая $y = 2x + a$ пересекает общую точку пересечения правой ветви гиперболы и прямой $y = x - 8$, что дает нам ровно 2 решения.

От положения $2$ не включительно до положения $3$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать правую ветвь гиперболы в двух точках и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам 3 решения системы.

В положении $3$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться правой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения.

От положения $3$ не включительно до положения $4$ не включительно прямая $y = 2x + a$ будет пересекать только прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 1 решение.

В положении $4$ прямая $y = 2x + a$ будет касаться левой ветви гиперболы и пересекать прямую $y = x - 8$, что даст нам ровно 2 решения системы.

От положения $4$ не включительно и выше прямая $y = 2x + a$ будет пересекать левую ветвь гиперболы в двух точках и прямую $y = x - 8$, что будет давать нам 3 решения.

Найдём значения параметра в граничных точках:

Найдём значения параметра в граничных точках:

1

$$y = 2x + a \Leftrightarrow 0 = 2\cdot8 + a \Leftrightarrow a = -16$$

2

$$-7 = 2\cdot1 + a \Leftrightarrow a = -9$$

3

$$2x + a = 1 - \frac{8}{x} \Leftrightarrow \frac{2x^2+ ax- x + 8 }{x} = 0 \Leftrightarrow \frac{2x^2 + x(a - 1) + 8}{x} = 0$$ Когда данное уравнение будет иметь ровно 1 решение, мы получим значение параметра обеспечивающее $$D = 0 \Leftrightarrow (a - 1)^2 - 64 = 0 \Leftrightarrow (a - 9)(a + 7) = 0 \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a = 9 \quad \text{или} \quad a = -7$$

Значение $a = -7$ соответствует положению $3$, а значение $a = 9$ соответствует положению $4$.

Следовательно, получаем ответ: $$a \in (-16; -9] \cup \{-7\} \cup \{9\}$$

Решение:

$$(*) \begin{cases} 3x - a > 0 \\ 4x + a > 0 \\ 5x - 3 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{5x - 3}\left(\ln(3x - a) - \ln(4x + a)\right) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{5x - 3} = 0 \\ &\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{5x - 3} = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{5} \in [0; 1]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{3}{5}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$:

$$\begin{cases} \tfrac{9}{5} - a > 0 \\ \tfrac{12}{5} + a > 0 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{9}{5}\\ a > -\tfrac{12}{5} \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left(-\frac{12}{5}; \frac{9}{5}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(3x - a) = \ln(4x + a) \Rightarrow 3x - a = 4x + a \Rightarrow x = -2a$$ Проверим условия: $$\begin{cases} 4x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1\\ 5x -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 4(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1\\ 5(-2a) -3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -7a > 0 \\ 0 \geq a \geq -\frac{1}{2}\\ a \leq -\frac{3}{10} \end{cases} \Rightarrow$$ $$\Rightarrow a \in \left[-\frac{1}{2}; -\frac{3}{10}\right]$$

Замечание: одно из условий $3x - a$ или $4x + a$ можно опустить для этого корня при проверке, так как для решения уравнения $\ln(3x - a) = \ln(4x + a)$ достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно из них.

Проверим совпадение корней: $$\frac{3}{5} = -2a \Rightarrow a = -\frac{3}{10}$$

Пересекая значения параметра $a$, при которых $x = \tfrac{3}{5}$ и $x = -2a$ являются корнями уравнения, мы получим значения параметра, при которых исходное уравнение имеет два корня на отрезке $[0; 1]$, что нам не подходит, соответственно в ответ мы возьмём только те значения параметра, при которых ровно $1$ корень является решением уравнения, с учётом совпадения корней при $a = -\tfrac{3}{10}$:

$$a \in \left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{12}{5}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{10}; \frac{9}{5}\right)$.

Решение:

$$(*) \begin{cases} x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0 \\ 7x - 4 \geq 0 \\ 0 \leq x \leq 4 \end{cases}$$

Уравнение можно переписать в виде: $$\sqrt{7x - 4}\cdot\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0$$

Это равносильно совокупности: $$\left[ \begin{aligned} &\sqrt{7x - 4} = 0 \\ &\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \end{aligned} \right.$$

Первое уравнение: $$\sqrt{7x - 4} = 0 \Rightarrow x = \frac{4}{7} \in [0; 4]$$

Проверим, при каких значениях параметра $a$, $x = \frac{4}{7}$ является корнем, для этого подставим его в $(*)$: $$\left(\frac{4}{7}\right)^2 - 8\cdot\frac{4}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{16}{49} - \frac{32}{7} + 17 - a^2 > 0 \Leftrightarrow \frac{625}{49} > a^2 \Rightarrow a \in \left(-\frac{25}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Второе уравнение: $$\ln(x^2 - 8x + 17 - a^2) = 0 \Rightarrow x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1 \Rightarrow (x-4)^2 = a^2$$ $$\Rightarrow x = 4 \pm a$$

Проверим условия для каждого корня:

1. Для $x = 4 - a$: $$\begin{cases} 4 - a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 - a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq \frac{24}{7} \\ 0 \leq a \leq 4 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[0; \frac{24}{7}\right]$$

2. Для $x = 4 + a$: $$\begin{cases} 4 + a \geq \frac{4}{7} \\ 0 \leq 4 + a \leq 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \geq -\frac{24}{7} \\ -4 \leq a \leq 0 \\ \end{cases} \Rightarrow a \in \left[-\frac{24}{7}; 0\right]$$

Проверим совпадение корней: $$4 - a = 4 + a \Rightarrow a = 0$$ $$4 - a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = \frac{24}{7}$$ $$4 + a = \frac{4}{7} \Rightarrow a = -\frac{24}{7}$$

Таким образом, уравнение имеет ровно один корень на отрезке $[0; 4]$ при: $$a \in \left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$$

Ответ: $\left(-\frac{25}{7}; -\frac{24}{7}\right] \cup \left[\frac{24}{7}; \frac{25}{7}\right)$