Уравнения с параметром

$$\left(*\right) \begin{cases} 4x - 3 \geq 0 \\ 2x - a > 0 \\ 3x + a > 0 \\ 0 \leq x \leq 1 \end{cases}$$

$$\sqrt{4x - 3}(\ln(2x - a) - \ln(3x + a)) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &\sqrt{4x - 3} = 0 \\ &\ln(2x - a) - \ln(3x + a) = 0 \end{aligned} \right. \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &4x - 3 = 0 \\ &2x - a = 3x + a \end{aligned} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} &x = \frac{3}{4} \\ &x = -2a \end{aligned} \right.$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$.

Для первого корня $x = \frac{3}{4}$: $$\begin{cases} 4\cdot\tfrac{3}{4} - 3 \geq 0 \\ 2\cdot\tfrac{3}{4} - a > 0 \\ 3\cdot\tfrac{3}{4} + a > 0 \\ 0 \leq \tfrac{3}{4} \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 0 \geq 0 \\ \tfrac{3}{2} - a > 0 \\ \tfrac{9}{4} + a > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a < \tfrac{3}{2} \\ a > -\tfrac{9}{4} \end{cases}$$

Для второго корня $x = -2a$: $$\begin{cases} 4(-2a) - 3 \geq 0 \\ 2(-2a) - a > 0 \\ 3(-2a) + a > 0 \\ 0 \leq -2a \leq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -8a - 3 \geq 0 \\ -5a > 0 \\ -5a > 0 \\ -1 \leq 2a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \leq -\frac{3}{8} \\ a < 0 \\ -\frac{1}{2} \leq a \leq 0 \end{cases} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq -\frac{3}{8}$$

Проверим совпадение корней:

$$-2a = \frac{3}{4} \Leftrightarrow a = -\frac{3}{8}$$

Ответ: $\left(-\frac{9}{4}; -\frac{1}{2}\right) \cup \left[-\frac{3}{8}; \frac{3}{2}\right)$

$$\left(*\right) x^2 + 8x + 16 - a^2 \neq 0 \Leftrightarrow(x + 4 - a)(x + 4 + a) \neq 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow \begin{cases} x \neq a - 4 \\ x \neq -a - 4 \\ \end{cases}$$

Найдём корни числителя: $$9x^2 - a^2 = 0 \Rightarrow x^2 = \frac{a^2}{9} \Rightarrow x = \pm\frac{a}{3}$$

Найдём при каких значениях параметра $a$ найденные корни удовлетворяют условию $\left(*\right)$, т.е являются корнями данного уравнения. Для этого подставим их в $\left(*\right)$

1. $x = \frac{a}{3}$

$$\begin{cases} \tfrac{a}{3} \neq a - 4 \\ \tfrac{a}{3} \neq -a - 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 6 \\ a \neq -3 \\ \end{cases}$$

1. $x = -\frac{a}{3}$

$$\begin{cases} -\tfrac{a}{3} \neq a - 4 \\ -\tfrac{a}{3} \neq -a - 4 \\ \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a \neq 3 \\ a \neq -6 \\ \end{cases}$$

1. Проверяем совпадение корней:

$$\frac{a}{3} = -\frac{a}{3} \Leftrightarrow a = 0$$

В итоге: при $a \neq 6, a \neq -3$ корень $x = \frac{a}{3}$ является корнем уравнения. При $a \neq -6, a \neq 3$ корень $x = -\frac{a}{3}$ является корнем уравнения. При $a = 0$ корни уравнения совпадают.

Таким образом, уравнение имеет ровно два различных корня при: $$a \in (-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)$$

Ответ: $(-\infty, -6) \cup (-6, -3) \cup (-3, 0) \cup (0, 3) \cup (3, 6) \cup (6, +\infty)$

Пусть $x + \frac{a^2}{x} = t$. Имеем:

$$|t + 1| + |t - 1| = 2$$

Последовательно раскроем модули:

$$\left[\begin{aligned} & \begin{cases} t + 1 + t -1 = 2\\ t > 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} t + 1 - t + 1 = 2\\ t \in[-1; 1] \end{cases}\\ &\begin{cases} -t -1 - t + 1 = 2\\ t < -1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & \begin{cases} t = 1\\ t > 1 \end{cases}\\ &t \in[-1; 1]\\ &\begin{cases} t = -1\\ t < -1 \end{cases} \end{aligned}\right. \Leftrightarrow t \in [-1; 1]$$

Исходное уравнение будет иметь решения, когда $t \in [-1; 1]$.

Проанализируем замену:

$$x + \frac{a^2}{x} = t \Leftrightarrow \frac{x^2 - xt + a^2}{x} = 0$$

$$\begin{cases} x^2 -xt + a^2 = 0\\ x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow$$

Данное уравнение будет иметь решения, когда $D \geq 0$:

$$D = t^2 - 4a^2 \geq 0 \Leftrightarrow (t- 2a)(t + 2a) \geq 0 \Rightarrow t \in (-\infty; -2|a|] \cup [2|a|; + \infty)$$

Учитывая, что $t \in [-1; 1]$, получаем условия:

$$\left[\begin{aligned} & -2|a| \geq -1\\ & 2|a| \leq 1 \end{aligned}\right. \Rightarrow |a| \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow -\frac{1}{2} \leq a \leq \frac{1}{2}$$

Ответ: $\left[-\frac{1}{2}; \frac{1}{2}\right]$

$$(*) \quad x^2 - a^2 \geq 0$$

Возведём в квадрат обе части уравнения: $$x^2 - a^2 = 4x^2 - (4a + 1)x + a \Leftrightarrow 3x^2 - (4a + 1)x + a^2 + a = 0$$

Найдём корни данного квадратного уравнения и выразим их через параметр: $$D = (4a + 1)^2 - 4\cdot3\cdot(a^2 + a) = 16a^2 + 8a + 1 - 12a^2 - 12a = 4a^2- 4a + 1 = (2a - 1)^2$$

$$x = \frac{4a + 1 \pm\sqrt{(2a - 1)^2}}{6}$$ $$x_1 = \frac{4a + 1 +\sqrt{(2a - 1)^2}}{6} = \frac{4a + 1 +2a - 1}{6} = a$$ $$x_2 = \frac{4a + 1 -\sqrt{(2a - 1)^2}}{6} = \frac{4a + 1 -2a + 1}{6} = \frac{2a + 2}{6} = \frac{a + 1}{3}$$

Найдём, при каких значениях $a$ найденные корни являются корнями исходного уравнения на промежутке $[0; 1]$

$x_1$:

Проверяем условие $(*)$ $$a^2 - a^2 \geq 0 \Leftrightarrow 0 \geq 0 \Rightarrow a \in R$$ $$0 \leq a \leq 1 \Rightarrow a \in [0; 1]$$ При $a \in [0;1]$, $x_1$ является корнем уравнения.

$x_2$: $$\left(\frac{a + 1}{3}\right)^2 - a^2 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{a^2 + 2a + 1}{9} - a^2 \geq 0 |\cdot9$$ $$a^2 + 2a + 1 - 9a^2 \geq 0 \Leftrightarrow8a^2 - 2a - 1 \leq 0 \Leftrightarrow (a + \tfrac{1}{4})(a - \tfrac{1}{2}) \leq 0$$

$$a \in \left[-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$$ $$0 \leq \frac{a + 1}{3} \leq 1 \Leftrightarrow 0 \leq a + 1 \leq 3 \Leftrightarrow -1 \leq a \leq 2$$ Пересекая данные решения, получаем: $$a \in \left[-\frac{1}{4}; \frac{1}{2}\right]$$

Проверим совпадение корней: $$a = \frac{a + 1}{3} \Leftrightarrow 3a = a + 1 \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}$$

Определим, при каких значениях параметра $a$ исходное уравнение имеет ровно 1 корень:

В точке $a = \frac{1}{2}$ корни совпадают. Значит, при $a = \frac{1}{2}$ исходное уравнение будет иметь ровно 1 корень.

При $a = 0$ исходное уравнение имеет 2 решения. $$a \in \left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right]$$

Ответ: $\left[-\frac{1}{4}; 0\right) \cup \left[\frac{1}{2}; 1\right]$

$$(*) \quad x^2 + 4x - 8a \geq 0$$

Возведём в квадрат обе части уравнения: $$x^4 - 16x^2 + 64a^2 = (x^2 + 4x)^2 - 16a(x^2 + 4x) +64a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow x^4 - 16x^2 + 64a^2 = x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 16ax^2 - 64ax +64a^2 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow 8x^3 + 32x^2 - 16ax^2 - 64ax = 0 \Leftrightarrow x^3 + 4x^2 - 2ax^2 - 8ax = 0 \Leftrightarrow x^2(x + 4) -2ax(x + 4) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (x^2 - 2ax)(x + 4) = 0 \Leftrightarrow x(x - 2a)(x + 4) = 0$$

Откуда получаем: $$\left[\begin{aligned} &x_1 = 0\\ &x_2 = 2a\\ &x_3 = -4 \end{aligned}\right.$$

Найдём, при каких значениях $a$ найденные корни являются корнями исходного уравнения.

$x_1$:

Проверяем условие $(*)$ $$0^2 + 4\cdot0 - 8a \geq 0 \Leftrightarrow a \leq 0$$

При $a \in (-\infty; 0]$, $x_1$ является корнем уравнения.

$x_2$: $$(2a)^2 + 4\cdot2a - 8a \geq 0 \Leftrightarrow4a^2 \geq 0 \Rightarrow a \in R$$ При $a \in R$, $x_2$ является корнем уравнения.

$x_3$: $$(-4)^2 + 4\cdot(-4) -8a \geq 0 \Leftrightarrow16 - 16 - 8a \geq 0 \Rightarrow a \in (-\infty; 0]$$ При $a \in (-\infty; 0]$, $x_3$ является корнем уравнения.

Проверим совпадения корней: $x_1 = x_2$: $$0 = 2a \Rightarrow a = 0$$ При $a = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают.

$x_2 = x_3$: $$2a = -4 \Leftrightarrow a = -2$$ При $a = -2$ корни $x_2$ и $x_3$ совпадают.

Отметим количество решений на оси:

В точке $a = 0$ корни $x_1$ и $x_2$ совпадают. Значит, при $a = 0$ исходное уравнение будет иметь 2 корня.

При $a = -2$ корни $x_2$ и $x_3$ совпадают. Значит, при $a = -2$ исходное уравнение будет иметь 2 корня.

Итак, при $a \in (-\infty; -2)$ – три различных решения.

При $a \in (2;0)$ – три различных решения.

При $a \in (0; +\infty)$ – одно решение.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (-2; 0)$