Уравнения с параметром

$$(*) \cos x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$$

Преобразуем исходное неравенство: $$(2x + a + 1 + \tg x)^2 - (2x + a - 1- \tg x)^2 = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (2x + a + 1 + \tg x - 2x - a + 1 + \tg x)(2x + a + \tg x + 1 + 2x + a - \tg x - 1) = 0 \Leftrightarrow$$ $$\Leftrightarrow (4x + 2a)(2\tg x + 2) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &4x + 2a = 0 \\ &2\tg x + 2 = 0 \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} & x = -\tfrac{a}{2} \\ & \tg x = -1 \end{aligned}\right.$$

Второе уравнение совокупности даёт единственное решение на отрезке $x = -\frac{\pi}{4}$. Первое уравнение даёт одно решение на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, исключая случаи, когда $-\frac{a}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in Z$.

$$-\frac{\pi}{2} < -\frac{a}{2} < \frac{\pi}{2} \Leftrightarrow \pi < a < -\pi \Rightarrow a \in (-\pi; \pi)$$

Проверим совпадение корней: $$-\frac{\pi}{4} = -\frac{a}{2} \Leftrightarrow a = \frac{\pi}{2}$$

Отметим количество решений $x$ в зависимости от значений параметра $a$:

Тогда исходное уравнение имеет ровно 1 корень на отрезке $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$, при $$a \in (-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)$$

Ответ: $(-\infty; -\pi] \cup \left\{\frac{\pi}{2}\right\} \cup [\pi; +\infty)$

Сделаем замену $2^x = t$, $t > 0$:

Одно положительное решение $t$ исходного уравнения даёт одно решение для $x$, поэтому уравнение относительно переменной $t$ будет иметь столько же корней, сколько и уравнение относительно переменной $x$.

$$t^2 + (a - 6)t = (2 + 3|a|)t+ (a - 6)(3|a| + 2)$$ $$t^2 + (a - 6)t - (2 + 3|a|)t - (a - 6)(3|a| + 2) = 0$$ $$t(t + (a - 6)) - (2 + 3|a|)(t + (a - 6)) = 0$$ $$(t + a - 6)(t - 2 - 3|a|) = 0$$ $$t = -a + 6 \text{ или } t = 2 + 3|a|$$

По условию $t > 0$. Проверим корни на это условие:

$$\begin{cases} t = -a + 6\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ -a + 6 > 0 \end{cases} \Rightarrow a < 6$$

$$\begin{cases} t = 2 + 3|a|\\ t > 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} t = -a + 6\\ 2 + 3|a| > 0 \end{cases} \Rightarrow a \in R$$

Найдём значения параметра $а$, при которых корни уравнения совпадают:

$$-a + 6 = 2 + 3|a| \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ -a + 6 = 2 + 3a \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ -a + 6 = 2 - 3a \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{aligned} &\begin{cases} a \geq 0\\ a = 1 \end{cases}\\ &\begin{cases} a < 0\\ a = -2 \end{cases}\\ \end{aligned}\right. \Rightarrow \left[\begin{aligned} &a = 1\\ &a = -2 \end{aligned}\right.$$

В итоге:

Уравнение имеет $1$ корень при:

$$a \in \{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$$

Ответ: $\{-2\} \cup \{1\} \cup [6; + \infty)$.

Сделаем замену $t=3^{\cos x}$. Так как $\cos x\in[-1;1]$, то $t\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.

Тогда получим уравнение $$(t-1)a^2-(t+1)a-2t=0$$

Следовательно, нужно найти те $a$, при которых уравнение будет иметь хотя бы одно решение $t$ из отрезка $\left[\dfrac{1}{3};3\right]$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые относительно $t$: $$a^2t-a^2-at-a-2t=0$$ $$t(a^2-a-2)=a^2+a$$ $$t(a+1)(a-2)=a(a+1)$$ Рассмотрим несколько случаев в зависимости от значений параметра $a$.

1. $a=-1$. Тогда уравнение примет вид $0=0$. Решением данного уравнения являются все $t$. Следовательно, этот случай нам подходит.

2. $a=2$. Тогда уравнение примет вид $0=6$. Такое уравнение не имеет решений. Следовательно, этот случай нам не подходит.

3. $a\ne -1;2$. Тогда имеем: $$t=\frac{a(a+1)}{(a+1)(a-2)}=\frac{a}{a-2}$$

Нам нужно, чтобы $t\in\left[\dfrac{1}{3};3\right]$. Следовательно, $$\frac{1}{3}\le \frac{a}{a-2}\le 3 \quad \Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

Так как в данном случае $a\ne -1$, получаем $a\in(-\infty;-1)\cup[3;+\infty)$.

Объединяя подходящие случаи, получаем окончательно $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

Ответ: $$a\in(-\infty;-1]\cup[3;+\infty)$$

Данное уравнение с помощью замены $\cos^2 x=t$ сводится к квадратному: $$t^2-(a-2)t-3(a+1)=0 \qquad (*)$$

Далее заметим, что $$-1\le \cos x\le 1 \quad \Rightarrow \quad 0\le \cos^2 x\le 1$$

То есть уравнение $\cos^2 x=t$ имеет решения относительно $x$ при $t\in[0;1]$.

Найдем в явном виде корни полученного квадратного уравнения с помощью теоремы Виета: $$\begin{cases} t_1+t_2=a-2,\\ t_1\cdot t_2=-3(a+1) \end{cases}$$

$$t_1=-3;\quad t_2=a+1$$

Так как $-3\notin[0;1]$, то исходное уравнение имеет решения, если $0\le a+1\le 1$.

Отсюда получаем ответ $-1\le a\le 0$.

Ответ: $$a\in[-1;0]$$

Сделаем замену $t=x^2-6|x|+a=(|x|-3)^2+a-9$. Тогда уравнение примет вид $$t^2+10t+26=\cos\frac{16\pi}{a} \quad \Leftrightarrow \quad (t+5)^2=\cos\frac{16\pi}{a}-1$$

Так как $\cos\alpha\in[-1;1]$, то $\cos\alpha-1\in[-2;0]$. Следовательно, правая часть равенства $\le 0$. Левая же часть равенства как полный квадрат $\ge 0$. Следовательно, равенство возможно только в том случае, когда обе части равенства равны $0$: $$\begin{cases} \cos\dfrac{16\pi}{a}=1,\\ t=-5 \end{cases} \quad \Rightarrow \quad \begin{cases} \dfrac{16\pi}{a}=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z},\\ (|x|-3)^2=4-a \end{cases} \qquad (*)$$

Уравнение $A^2=B$ имеет $0$, $1$ или $2$ решения. Уравнение $|C|=D$ также имеет $0$, $1$ или $2$ решения. Следовательно, уравнение $(*)$ может иметь от $0$ до $4$ решений.

$2$ решения оно имеет, если

• 1. квадратное уравнение имеет два решения, а из получаемых двух модульных уравнений одно имеет два решения, а другое — не имеет решений. Это выполняется, если $4-a>0$, откуда $|x|=3\pm\sqrt{4-a}$ и $3+\sqrt{4-a}>0$, $3-\sqrt{4-a}<0$. Получаем $a<-5$.
• 1. квадратное уравнение имеет одно решение, а получаемое модульное уравнение имеет два решения. Это выполняется, если $4-a=0$, откуда $|x|=3$, тогда $x=\pm 3$. Следовательно, $a=4$.

  Ответ: $$a\in\{-8;4\}$$