Вклады

Пусть:

• $S$ — первоначальная сумма вклада (в млн руб.)
• $k = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент роста вклада за год (где $r$ — годовая процентная ставка)

Первый год:

1. Вклад увеличивается на проценты: $$S \cdot k$$

2. После этого Егор добавляет 0,9 от первоначальной суммы: $$S \cdot k + 0,9S$$

3. По условию после этих операций сумма стала 3,4 млн руб.: $$S \cdot k + 0,9S = 3,4$$ $$k = \frac{3,4 - 0,9S}{S} \quad (1)$$

Второй год:

1. Сумма в начале второго года (3,4 млн руб.) увеличивается на проценты: $$3,4 \cdot k$$

2. По условию эта сумма равна 2,2 от первоначальной: $$3,4 \cdot k = 2,2S$$ $$k = \frac{2,2S}{3,4} \quad (2)$$

Решаем систему уравнений:

Приравняем выражения (1) и (2) для $k$: $$\frac{3,4 - 0,9S}{S} = \frac{2,2S}{3,4}$$

Умножим обе части на $3,4S$: $$3,4(3,4 - 0,9S) = 2,2S^2$$ $$11,56 - 3,06S = 2,2S^2$$

Перенесем все в одну сторону: $$2,2S^2 + 3,06S - 11,56 = 0$$

Умножим на 100 для удобства: $$220S^2 + 306S - 1156 = 0$$

Сократим на 2: $$110S^2 + 153S - 578 = 0$$

Решим квадратное уравнение: $$D = 153^2 - 4 \cdot 110 \cdot (-578) = 23409 + 254320 = 277729$$ $$\sqrt{D} = 527$$ $$S = \frac{-153 \pm 527}{220}$$

Отбрасываем отрицательный корень: $$S = \frac{-153 + 527}{220} = \frac{374}{220} = 1,7$$

Проверка: Найдем коэффициент $k$: $$k = \frac{2,2 \cdot 1,7}{3,4} = \frac{3,74}{3,4} = 1,1$$

Проверим первый год: $$1,7 \cdot 1,1 + 0,9 \cdot 1,7 = 1,87 + 1,53 = 3,4$$ — верно

Проверим второй год: $$3,4 \cdot 1,1 = 3,74$$ $$2,2 \cdot 1,7 = 3,74$$ — верно

Ответ 1,7

Введем обозначения:

• $S$ — первоначальная сумма
• $x = 1 + \frac{r}{100}$ — коэффициент роста банка А
• $y = 1 + \frac{t}{100}$ — коэффициент роста банка Б

Первый случай: $$\begin{align*} \frac{5S}{6}x + \frac{S}{6}y &= 670 \quad (1) \\ \frac{5S}{6}x^2 + \frac{S}{6}y^2 &= 749 \quad (2) \end{align*}$$

Второй случай: $$\frac{S}{6}x + \frac{5S}{6}y = 710 \quad (3)$$

Из (1) и (3) выражаем: $$\begin{cases} 5x + y = \frac{4020}{S}\\ x + 5y = \frac{4260}{S} \end{cases}$$ Решая систему, находим: $$x = \frac{11}{10} \quad (r=10\%), \quad y = \frac{6}{5} \quad (t=20\%)$$ $$S = 600 \text{ у.е.}$$

Итоговая сумма во втором случае: $$\frac{600}{6}x^2 + \frac{5\cdot600}{6}y^2 = 100\cdot1.21 + 500\cdot1.44 = 841 \text{ у.е.}$$

Ответ 841

Рассмотрим максимальный случай, когда пополнения делаются все три раза.

Ответ: 1,948,353

Пусть первоначальный вклад составляет $A$ млн рублей. Динамика изменений:

Итоговая сумма через 4 года: $$1{,}08(1{,}08^2(1{,}08A - 8) + 8) = 1{,}08^4A - 8 \cdot 1{,}08(1{,}08 - 1)(1{,}08 + 1)$$

Без манипуляций сумма составила бы: $$1{,}08^4A$$

Разница (потерянные средства): $$8 \cdot 1{,}08 \cdot 0{,}08 \cdot 2{,}08 = 1{,}437696 \text{ млн рублей} = 1\,437\,696 \text{ рублей}$$

Ответ 1,437,696

Пусть $S$ — сумма первоначального взноса для обоих вкладов.

1. Вклад «А»: - Ежегодное увеличение на 14% - Через 2 года: $S \times 1.14^2 = 1.2996S$
2. Вклад «Б»: - Первый год: увеличение на 8% → $S \times 1.08$ - Второй год: увеличение на $n\%$ → $1.08S \times \left(1 + \frac{n}{100}\right)$
3. Условие выгодности вклада «Б»: $$1.08 \times \left(1 + \frac{n}{100}\right) \times S > 1.2996S$$
4. Решаем неравенство: $$\begin{align*} 1.08 \times \left(1 + \frac{n}{100}\right) &> 1.2996 \\ 1 + \frac{n}{100} &> \frac{1.2996}{1.08} \\ \frac{n}{100} &> 1.203333... - 1 \\ n &> 20.333... \end{align*}$$
5. Наименьшее целое $n$, удовлетворяющее условию: 21

Ответ 21