Вклады

Обозначим:

• $2y$ — процентная ставка в первом банке
• $3y$ — во втором банке
• $5y$ — в третьем банке
• $A_1, A_2, A_3$ — суммы вкладов в соответствующие банки

По условию чистая прибыль одинакова: $$A_1 \cdot \frac{2y}{100} = A_2 \cdot \frac{3y}{100} = A_3 \cdot \frac{5y}{100}$$

Упрощаем: $$2A_1 = 3A_2 = 5A_3$$

Введем коэффициент пропорциональности $k$: $$A_1 = \frac{k}{2}, \quad A_2 = \frac{k}{3}, \quad A_3 = \frac{k}{5}$$

Приведем к общему знаменателю (30): $$A_1 : A_2 : A_3 = \frac{15}{30} : \frac{10}{30} : \frac{6}{30} = 15 : 10 : 6$$

Ответ 15 : 10 : 6

Годовые процентные ставки необходимо пересчитать в месячные:

• За 2 месяца: $\frac{6\%}{12} \cdot 2 = 1\%$ (или $0.5\%$ в месяц).
• За 4 месяца: $\frac{18\%}{12} \cdot 4 = 6\%$ (или $1.5\%$ в месяц).
• За 6 месяцев: $\frac{12\%}{12} \cdot 6 = 6\%$ (или $1\%$ в месяц).

Пусть первоначальная сумма вклада равна $K$ у.е. Заполним таблицу помесячных начислений:

Общая сумма начисленных процентов за полгода: $$0.005K + 0.0055K + 0.018K + 0.0195K + 0.014K + 0.015K = 0.077K \, \text{у.е.}$$

Процент от первоначального вклада: $$\frac{0.077K}{K} \cdot 100\% = 7.7\%.$$

Ответ 7.7

Пусть:

• $S = 64\,000$ руб. — начальная сумма вклада,
• $k = 1 + \frac{25}{100} = \frac{5}{4}$ — повышающий коэффициент,
• $x$ — фиксированная сумма, добавляемая ежегодно.

Выразим сумму вклада по годам:

• Конец 1-го года: $kS + x$,
• Конец 2-го года: $k^2S + kx + x$,
• Конец 3-го года: $k^3S + k^2x + kx + x$,
• Конец 4-го года: $k^4S + k^3x + k^2x + kx$.

По условию сумма в конце 4-го года равна 385,000 руб.: $$k^4S + k^3x + k^2x + kx = 385\,000.$$

Выразим $x$: $$x = \frac{385\,000 - k^4S}{k^3 + k^2 + k}.$$

Подставим числовые значения: $$k^4S = \left(\frac{5}{4}\right)^4 \cdot 64\,000 = \frac{625}{256} \cdot 64\,000 = 156\,250,$$ $$k^3 + k^2 + k = \left(\frac{5}{4}\right)^3 + \left(\frac{5}{4}\right)^2 + \frac{5}{4} = \frac{125}{64} + \frac{25}{16} + \frac{5}{4} = \frac{125 + 100 + 80}{64} = \frac{305}{64}.$$

Тогда: $$x = \frac{385\,000 - 156\,250}{\frac{305}{64}} = \frac{228\,750 \cdot 64}{305} = 48\,000.$$

Ответ: 48,000

1. Нахождение $n$

К началу 2-го года сумма вложений: $$1.1 \cdot 12 + n = 13.2 + n \quad \text{млн рублей}.$$ К началу 3-го года: $$1.1(13.2 + n) + n = 14.52 + 2.1n \quad \text{млн рублей}.$$ По условию удвоения: $$14.52 + 2.1n \geq 24.$$ Решаем неравенство: $$2.1n \geq 9.48 \implies n \geq \frac{9.48}{2.1} \approx 4.514.$$ Наименьшее целое $n = 5$.

2. Нахождение $m$

При $n = 5$ к началу 3-го года: $$14.52 + 2.1 \cdot 5 = 25.02 \quad \text{млн рублей}.$$ К началу 4-го года: $$1.1 \cdot 25.02 + m = 27.522 + m \quad \text{млн рублей}.$$ К концу 4-го года: $$1.1(27.522 + m) + m = 30.2742 + 2.1m \quad \text{млн рублей}.$$ По условию утроения: $$30.2742 + 2.1m \geq 36.$$ Решаем неравенство: $$2.1m \geq 5.7258 \implies m \geq \frac{5.7258}{2.1} \approx 2.726.$$ Наименьшее целое $m = 3$.

Ответ n = 5; m = 3

Пусть $S$ тыс. руб. — начальная сумма. $r\% = 8\%$ – ставка. Коэффициент роста: $k = 1 + \frac{r}{100} = 1.08$.

Динамика вклада:

1. Конец 2-го года: $$k^2S - 229 \text{ тыс. руб.}$$
2. Конец 3-го года (до снятия): $$k(k^2S - 229) \text{ тыс. руб.}$$
3. После снятия: $$k(k^2S - 229) - 350 = 190 \text{ тыс. руб.}$$

Решаем уравнение: $$1.08(1.08^2S - 229) - 350 = 190$$ $$1.08(1.1664S - 229) = 540$$ $$1.1664S - 229 = \frac{540}{1.08} = 500$$ $$1.1664S = 729$$ $$S = \frac{729}{1.1664} = 625 \text{ тыс. руб.}$$

Ответ 625,000