Вклады

Пусть $S$ - сумма долга. Так как в первые $3$ года заёмщик выплачивал только проценты, то сумма выплат составит:

$0,2S+0,2S+0,2S=0,6S$, умножение на $0,2$ - это поиск начисленного процента.

Так в $4$-ом и $5$-ом году были совершены $2$ равные выплаты, обозначим каждую за $x$.

Рассмотрим, как выглядит долг после начисления процента, $S+0,2S=1,2S$, значит, умножение на $1,2$ - начисление процента на остаток долга.

В начале $4$-го года: $1,2S$ В конце $4$-го года: $1,2S-x$ В начале $5$-го года: $(1,2S-x)\cdot 1,2$ В конце $5$-го года: $(1,2S-x)\cdot 1,2-x$, так как долг был погашен двумя платежами, значит, что остаток в конце $5$-го года равен $0$.

$$(1,2S-x)\cdot 1,2-x=0\Rightarrow 1,44S-1,2x-x=0\Rightarrow 1,44S=2,2x \Rightarrow x=\frac{1,44S}{2,2}$$

При этом необходимо, чтобы общая сумма выплат была меньше $7$ млн, всего выплатили $0,6S+2x<7$

Подставим $x$: $$0,6S+2\cdot\frac{1,44S}{2,2}<7\Rightarrow 0,6S+\frac{14,4S}{11}<7\Rightarrow 6,6S+14,4S<77\Rightarrow 21S<77\Rightarrow S<\frac{77}{21}\Rightarrow S<3\frac{14}{21}$$ Так как в условии сказано, что $S$ - целое количество млн, а так же требуют максимальное значение $S$, значит, $S=3$.

Ответ: 3

Составим математическую модель.

Пусть $S$ — сумма.

Под умножением на $1,1$ подразумеваем начисление процентов:

$$S\cdot (1+\frac{10}{100})=S+S\cdot\frac{10}{100}$$

Миша:

1год:

$$1,1S-5000$$ 2 год:

$$1,1\cdot (1,1S-5000)+5000$$ 3 год:

$$(1,1(1,1S-5000)+5000)\cdot 1,1$$

Раскроем скобки:

$$(S\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1+5000)\cdot 1,1=S\cdot 1,1^3-5000\cdot 1,1^2+5000\cdot 1,1~(1)$$

Маша: 1 год:

$$1,1S+5000$$ 2 год:

$$1,1\cdot (1,1S+5000)-5000$$ 3 год:

$$(1,1(1,1S+5000)-5000)\cdot 1,1$$

Раскроем скобки:

$$(S\cdot 1,1^2+5000\cdot 1,1-5000)\cdot 1,1=S\cdot 1,1^3+5000\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1~(2)$$

Из второго выражения вычтем первое:

$$Маша-Миша=S\cdot 1,1^3+5000\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1-S\cdot 1,1^3+5000\cdot 1,1^2-5000\cdot 1,1=\\ =10000\cdot 1,21-10000\cdot 1,1=12100-11000=1100$$

Ответ: 1100 руб.

Пусть первоначальная сумма вклада (в январе 2028 года) равна S сотен тысяч рублей.

Процентная ставка составляет $10\%$, то есть коэффициент увеличения $k = 1.1$.

Итоговая сумма в конце 2031 года (после последнего начисления процентов): $$k(k(k(kS + 5) + 5) + 5).$$ $$k(k(k^2 S + k\cdot 5 + 5) + 5) = k(k(k^2 S + 5(k + 1)) + 5) =$$ $$= k(k^3 S + 5\cdot k(k + 1) + 5) = k^4 S + 5\cdot k^2(k + 1) + 5\cdot k.$$ $$1.1^4 S + 5(1.1^2(1.1 + 1) + 1.1).$$

Таким образом, $$1.4641\,S + 5 \cdot 3.641 = 1.4641\,S + 18.205.$$

Первоначальный взнос $S$ и три взноса по $5$ сотен тысяч рублей: $$S + 15.$$

$$(1.4641\,S + 18.205) - (S + 15) = 0.4641\,S + 3.205.$$

По условию проценты $> 10$ сотен тысяч рублей: $$0.4641\,S + 3.205 > 10,$$ $$0.4641\,S > 6.795,$$ $$S > \frac{679\,50}{4641}$$ $$S>14 \frac{2976}{4641}$$

$S$ должно быть целым числом сотен тысяч, т.е. $$S>14 \frac{2976}{4641}$$ $$S_{\min} = 15.$$ $S\cdot 100\,000 = 1\,500\,000 \text{ рублей}$

Ответ: 1,500,000

Пусть первоначальная сумма вклада (в январе 2028 года) равна $S$ сотен тысяч рублей.

Процентная ставка составляет $10\%$, то есть коэффициент увеличения $k = 1.1$.

Итоговая сумма в конце 2031 года (после последнего начисления процентов):

k(k(k(kS + 4) + 4) + 4). $$k(k(k^2 S + k\cdot 4 + 4) + 4) = k(k(k^2 S + 4(k + 1)) + 4) =$$ $$= k(k^3 S + 4\cdot k(k + 1) + 4) = k^4 S + 4\cdot k^2(k + 1) + 4\cdot k.$$ $$1.1^4 S + 4(1.1^2(1.1 + 1) + 1.1).$$

Вычисляем: $$k^2 = 1.1^2 = 1.21,\quad k+1=2.1,\quad k^4 = 1.1^4 = 1.4641.$$ $$k^2(k+1) = 1.21 \cdot 2.1 = 2.541.$$ $$4(k^2(k+1) + k) = 4(2.541 + 1.1) = 4 \cdot 3.641 = 14.564.$$

Таким образом, итоговая сумма равна: $$1.4641\,S + 14.564 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

Первоначальный взнос $S$ и три взноса по $4$ сотни тысяч рублей: $$S + 3 \cdot 4 = S + 12 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

Проценты равны итоговая сумма минус все внесённые деньги: $$(1.4641\,S + 14.564) - (S + 12) = 0.4641\,S + 2.564 \quad \text{(в сотнях тысяч рублей)}.$$

По условию проценты должны быть более 800 000 руб, то есть более $8$ сотен тысяч рублей: $$0.4641\,S + 2.564 > 8.$$ $$0.4641\,S > 8 - 2.564$$ $$S> \frac{1359}{250}\cdot \frac{10000}{4641}$$ $$S>11\frac{1103}{1547}$$

$S$ должно быть целым числом сотен тысяч рублей, поэтому наименьшее возможное значение: $$S_{\min} = 12.$$ $12 \cdot 100\,000 = 1\,200\,000 \text{ рублей}.$

Ответ: 1,200,000

Составим таблицу, отслеживающую деньги на счету в банке в течение этих четырех лет:

Если за четыре года банк начислит на вклад больше $7$ млн рублей, то получаем следующее неравенство:

$$1,1\bigl(1,1\bigl(1,1^2\cdot 10+x\bigr)+x\bigr)-10-2x>7$$

Таким образом,

$$x>\frac{17-1,1^4\cdot 10}{1,1^2+1,1-2}=7\frac{189}{310}$$

Так как $x$ — целое, то наименьшее $x=8$.

Ответ: $8$