Вычисление углов

1. Обозначим острый угол $\angle A = \alpha$, тогда $\angle B = 90^\circ - \alpha$.

2. Биссектриса прямого угла создает угол: $$\angle DCA = 45^\circ$$

3. Медиана $CM$ образует равнобедренный треугольник $ACM$ так как $CM$ медиана проведённая к гипотенузе, поэтому: $$\angle ACM = \angle A = \alpha$$

4. По условию задачи: $$\angle DCM = \angle DCA - \angle ACM = 14^\circ$$ $$45^\circ - \alpha = 14^\circ$$ $$\alpha = 45^\circ - 14^\circ = 31^\circ$$

1. Найдем угол $\angle A$: $$\angle A = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ$$

2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, треугольник $ACM$ - равнобедренный: $$\angle ACM = \angle A = 24^\circ$$

3. Высота $CH$ образует с катетом $AC$ угол: $$\angle HCA = 90^\circ - \angle A = 66^\circ$$

4. Искомый угол между $CH$ и $CM$: $$\angle HCM = \angle HCA - \angle ACM = 66^\circ - 24^\circ = 42^\circ$$

1. Пусть острый угол $\angle A = \alpha$, тогда $\angle B = 90^\circ - \alpha$.

2. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, треугольник $ACM$ - равнобедренный: $$\angle ACM = \alpha$$

3. Угол между высотой $CH$ и катетом $AC$: $$\angle HCA = 90^\circ - \alpha$$

4. По условию задачи: $$\angle HCM = \angle HCA - \angle ACM = 40^\circ$$ $$(90^\circ - \alpha) - \alpha = 40^\circ$$ $$90^\circ - 2\alpha = 40^\circ$$ $$2\alpha = 50^\circ$$ $$\alpha = 25^\circ$$

5. Больший острый угол: $$\angle B = 90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$$

1. Найдем угол $A$: $$\angle A = 90^\circ - 61^\circ = 29^\circ$$

2. Угол между высотой $CH$ и гипотенузой $AC$ в треугольнике $ACH$: $$\angle HCA = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 29^\circ =61^\circ$$

3. Угол $DCA$ есть половина угла C:

$$\angle DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

(так как $CD$ биссектриса)

1. Искомый угол: $$\angle HCD = 61^\circ - 45^\circ = 16^\circ$$

1. Пусть $\angle A = \alpha$, тогда $\angle B = 90^\circ - \alpha$

2. Угол между высотой $CH$ и гипотенузой $CA$ треугольника $ACH$: $$\angle HCA = 90^\circ - \alpha$$

3. Угол $DCA$ есть половина угла C:

$$\angle DCA = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$$

(так как $CD$ биссектриса)

1. По условию: $$\angle HCA - \angle DCA = \angle HCD = (90^\circ - \alpha) - 45^\circ = 21^\circ$$ $$45^\circ - \alpha = 21^\circ$$ $$\alpha = 24^\circ$$