Вычисление углов

1. Найдем угол $C$ из треугольника $ABC$: $$\angle C = 180^\circ - 60^\circ - 82^\circ = 38^\circ$$

2. В треугольнике $AOF$: $$\angle OAF = \frac{\angle A}{2} =\frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

3. Из треугольника $ACF$ найдём угол $\angle CFA = \angle OFA$:

$$\angle OFA = 180^\circ - \angle A - \frac{\angle C}{2} = 101^\circ$$

1. Найдем угол $AOF$: $$\angle AOF = 180^\circ - \angle OAF - \angle OFA = 180^\circ - 30^\circ - 101^\circ = 49^\circ$$

Угол $AOF$ это угол между высотами $CF$ и $AD$. Они проведены к сторонам $AB$ и $CB$ соответственно. Угол между сторонами треугольника равен углу между высотами, которые проведены к этим сторонам. Следовательно $\angle AOF = \angle ABC = \angle B = 82^\circ$.

Рассмотрим треугольники $DEC$ и $DCB$. Они будут равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда:

$$\angle BDC = \angle CDE$$

Отсюда:

$$\angle BDE = \angle BDC + \angle CDE = 2\angle BDC = 2(180^\circ - \angle BCD - \angle CBD)$$

Так как $\angle BCE$ внешний относительно треугольника $ABC$:

$\angle BCD = \frac{\angle BCE}{2} = \frac{\angle A + \angle B}{2} = 58^\circ$

$$\angle CBD = 180^\circ - \angle B = 94^\circ$$

Найдём угол $\angle BDE$:

$$\angle BDE = 2(180^\circ - 58^\circ - 94^\circ) = 2\cdot28^\circ = 56^\circ$$

Рассмотрим треугольники $ACD$ и $ADE$. Они будут равны по двум сторонам и углу между ними. Тогда $\angle C = \angle AED = 85^\circ$

Тогда:

$$\angle BDE = 180^\circ - \angle B - \angle DEB = 180^\circ - 45^\circ - (180^\circ - \angle AED) = 40^\circ$$

1. Найдем угол $\angle A$: $$\angle A = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ$$

2. Биссектриса прямого угла делит его на два угла по $45^\circ$. Тогда: $$\angle DCA = 45^\circ$$

3. Медиана $CM$ образует равнобедренный треугольник $ACM$, поэтому: $$\angle ACM = \angle A = 24^\circ$$

4. Искомый угол между биссектрисой и медианой: $$\angle DCM = \angle DCA - \angle ACM = 45^\circ - 24^\circ = 21^\circ$$