Вычисление углов

Пусть $x$ – меньший угол. Тогда $x + 32$ – больший угол.

Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$$90^\circ + x + x + 32^\circ = 180^\circ \Leftrightarrow 2x = 58^\circ \Leftrightarrow x = 29^\circ$$

Тогда больший угол равен:

$$29^\circ + 32^\circ = 61^\circ$$

Внешний угол при вершине треугольника равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов треугольника. Поэтому:

$$\angle C = \angle B_{\text{внешний}} - \angle A = 102^\circ - 40^\circ = 62^\circ$$

1. Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ - равнобедренный с основанием $AB$.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$$\angle A = \angle B = 38^\circ$$

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$$\angle C = 180^\circ - 38^\circ - 38^\circ = 104^\circ$$

1. Так как $AC = BC$, треугольник $ABC$ - равнобедренный с основанием $AB$.

2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны:

$$\angle A = \angle B$$

1. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$ $$2\angle A = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ$$ $$\angle A = 31^\circ$$

Пусть угол $DAE$ равен $x$. Тогда дуга $DE$ равна $2x$, так как вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Угол между секущими $CB$ и $CA$ равен полуразности дуг $AB$ и $DE$: $$\angle ACB = \frac{\overset{\frown}{AB} - \overset{\frown}{DE}}{2}$$ $$42^\circ = \frac{124^\circ - 2x}{2}$$ $$84^\circ = 124^\circ - 2x$$ $$2x = 40^\circ$$ $$x = 20^\circ$$