Электродинамика

Для решения задачи заметим, что на капельку будет действовать сила тяжести $F_\text{т}=mg$ и сила действующая со стороны электрического поля $F_\text{эл}=qE$, направленная вдоль линий напряженности. Изобразим эти силы на рисунке:

Теперь запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось $Ox$ и вертикальную ось $Oy$: $$Ox: \quad ma_x=qE \Rightarrow a_x=\frac{qE}{m}$$ $$Oy: \quad ma_y=mg \Rightarrow a_y=g$$ Как видим движение вдоль каждой оси является равноускоренным, следовательно справедливы следующие формулу для выражения скорости изначальной неподвижной капли: $$v_x=a_xt=\frac{qEt}{m}$$ $$v_y=a_yt=gt$$ Тогда скорость капли через промежуток времени t равна: $$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\sqrt{\left(\frac{qEt}{m}\right)^2+(gt)^2}=t\cdot\sqrt{\left(\frac{qE}{m}\right)^2+g^2}=0.2\cdot\sqrt{\left(\frac{3\cdot10^{-9}\cdot10^6}{0.4\cdot10^{-3}}\right)^2+10^2}=2.5\,\text{м/с}$$

Для решения задачи рассмотрим какие силы действуют на каждый заряд, так на заряд Q будет действовать сила Кулона со стороны второго заряда $F_\text{к1}=F_\text{к}=\frac{k|Qq|}{d^2}$ и сила со стороны электрического поля $F_\text{к1}=EQ$, на заряд q так же будет действовать сила Кулона со стороны первого заряда, причём по третьему закону Ньютона эти силы будут равны $F_\text{к2}=F_\text{к}=\frac{k|Qq|}{d^2}$, а так же сила со стороны электрического поля $F_\text{э2}=Eq$.

Таким образом запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, для каждого заряда: $$Ma=F_\text{к1}-F_\text{э1} \quad\quad\quad ma=F_\text{к2}-F_\text{э2}$$ Проведя несложные математические преобразования с данной системой из двух уравнений, можем получить: $$\frac{F_\text{к1}-F_\text{э1}}{M}=\frac{F_\text{к2}-F_\text{э2}}{m}$$ $$\frac{\frac{k|Qq|}{d^2}-EQ}{M}=\frac{\frac{k|Qq|}{d^2}-Eq}{m}$$ $$\frac{k|Qq|-d^2EQ}{d^2M}=\frac{k|Qq|-d^2Eq}{d^2M}$$ Откуда уже можем выразить искомое расстояние d между зарядами: $$d = \sqrt{\frac{k q |Q| (m + M)}{E (m |Q| + q M)}} = \sqrt{\frac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 1 \cdot 10^{-9} \cdot (0.01 + 0.005)}{18 \cdot (0.01 \cdot 1 \cdot 10^{-9} + 0.005 \cdot 5 \cdot 10^{-9})}} \approx 1 \, \text{м}$$

Для решения задачи заметим, что на капельку действует две силы, силы тяжести $F_\text{т}=mg$, направленная вниз и сила электрического поля $F_\text{э}=Eq$, направленная вверх. И так как капелька находится в покое, то из условия равновесия следует, что: $$F_\text{э}=F_\text{т}$$ $$Eq=mg$$ Так как поле внутри конденсатора однородное, то напряжённость поля можно найти по формуле $E=\frac{U}{d}$. Так же выразим массу капли через соотношение $m=\rho V$, таким образом получим: $$\frac{Uq}{d}=\rho Vg$$ Откуда можем выразить искомый заряд капли: $$q=\frac{\rho Vgd}{U}=\frac{13600\cdot2\cdot10^{-18}\cdot10\cdot2\cdot10^{-2}}{1\cdot10^3}=5.44\cdot10^{-18}\,\text{Кл}$$

ля решения задачи заметим, что на шарик будут действовать три силы, сила тяжести $F_\text{т}=mg$, сила натяжения нити и сила со стороны электрического поля $F_\text{э}=qE$. Изобразим эти силы на рисунке:

Далее применим теорему об изменении кинетической энергии, согласно которой работа всех сила равна изменению кинетической энергии $\Delta E_\text{к}=A_\text{всех сил.}$. Так как сила натяжения в любой момент времени перпендикулярна скорости шарика, то её работа равна нулю. Силы $\vec{F_\text{т}}$ и $\vec{F_\text{э}}$ потенциальны, т.е. их работа этих сил не зависит от траектории, соответственно тогда можем выбрать траекторию движения шарика следующим образом, сначала из исходного положения вверх на расстояние h, затем по горизонтали на расстояние b в конечное положение, в таком случае работа силы тяжести равна $A_\text{т}=-mgh$, а работа электрического поля $A_\text{э}=Eqb$, таким образом получаем: $$\Delta E_\text{к}=A_\text{всех сил.}=A_\text{т}+A_\text{э}=-mgh+Eqb$$ Исходя из геометрии справедливы следующие соотношения: $$h=l(1-\cos{\alpha})\quad\quad\quad b=l\sin{\alpha}$$ Таким образом получаем: $$\Delta E_\text{к}=\frac{mv^2}{2}-0=\frac{mv^2}{2}=-mgl(1-\cos{\alpha})+Eql\sin{\alpha}$$ Откуда модем выразить искомую массу шарика $m$: $$m = \frac{2qEl\sin\alpha}{v^2 + 2gl(1 - \cos\alpha)} = \frac{2 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 6 \cdot 10^5 \cdot 0.8 \cdot 0.5}{0.81 + 2 \cdot 10 \cdot 0.8 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \approx 8.1 \cdot 10^{-4} \, \text{кг}$$

Для решения задачи рассмотрим какие силы действуют на каждый заряд, так на заряд Q будет действовать сила Кулона со стороны второго заряда $F_\text{к1}=F_\text{к}=\frac{k|Qq|}{r^2}$ и сила со стороны электрического поля $F_\text{к1}=E|Q|$, на заряд q так же будет действовать сила Кулона со стороны первого заряда, причём по третьему закону Ньютона эти силы будут равны $F_\text{к2}=F_\text{к}=\frac{k|Qq|}{r^2}$, а так же сила со стороны электрического поля $F_\text{э2}=E|q|$.

Таким образом запишем второй закон Ньютона в проекции на горизонтальную ось, для каждого заряда: $$Ma=F_\text{к1}-F_\text{э1} \quad\quad\quad ma=F_\text{к2}-F_\text{э2}$$ $$Ma=\frac{k|Qq|}{r^2}-E|Q| \quad\quad\quad ma=\frac{k|Qq|}{r^2}-E|q|$$ Из получившейся системы уравнений можем выразить искомую массу маленького шарика: $$m = \frac{M|q|(Er^2 - k|Q|)}{|Q|(k|q| - Er^2)} = \frac{5 \cdot 5 \cdot 10^{-9}(18 \cdot 1 - 9 \cdot 10^9 \cdot 10^{-9})}{10^{-9}(9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} - 18 \cdot 1)} \approx 8.3 \, \text{г}$$