Электродинамика

Для решения задачи заметим, что на шар действуют три силы, силы тяжести, сила электрического поля, которая сонаправлена с вектором напряженности (так как $q>0$) и сила натяжения нити. Изобразим эти силы:

Так же затмим, что шар будет вращаться по окружности, а значит на него будет действовать центростремительное ускорение, тогда по второму закону Ньютона: $$Oy:\,\,T\cos{\alpha}-mg-qE=0 \Rightarrow T=\frac{mg+qE}{\cos{\alpha}}$$ $$Ox:\,\,T\sin{\alpha}=ma_\text{ц} \Rightarrow \frac{mg+qE}{\cos{\alpha}}\cdot\sin{\alpha}=\frac{mv^2}{R} \Rightarrow v^2=\frac{(mg+qE)R\tan{\alpha}}{m}$$ Где $v$ – скорость шарика, $R$ – радиус окружности, который равен $R=l\sin{\alpha}$, и тогда $$v^2=\frac{(mg+qE)l\sin^2{\alpha}}{m\cos{\alpha}} \Rightarrow v=\sin{\alpha}\sqrt{\frac{(mg+qE)l}{m\cos{\alpha}}}$$ Далее воспользуемся формулой для частоты обращения: $$\nu=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{v}{2\pi R}= \frac{1}{2\pi l\sin{\alpha}}\cdot\sin{\alpha}\sqrt{\frac{(mg+qE)l}{m\cos{\alpha}}}=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{mg+qE}{ml\cos{\alpha}}}$$

Для решения задачи рассмотрим все силы, действующие на стержень, а именно сила тяжести $m\vec{g}$, сила реакции опоры $\vec{N}$ и сила Ампера $\vec{F_\text{А}}$. Изобразим эти силы:

Тогда по второму закону Ньютона в проекции на ось $Ox$: $$F_\text{А}\cos{\alpha}-mg\sin{\alpha}=ma$$ Силу Ампера можем найти по формуле $F_\text{А}=BIl\sin{\beta}$, где $\beta=90^\circ$, как угол между направлением тока и вектором магнитной индукции. Таким образом уравнение примет вид: $$BIl\cos{\alpha}=mg\sin{\alpha}+ma$$ Откуда можем выразить искомое отношение массы стержня к его длине: $$\frac{m}{l}=\frac{Bl\cos{\alpha}}{a+g\sin{\alpha}}=\frac{4\cdot0.2\cdot\cos{30^\circ}}{1.9+10\cdot\sin{30^\circ}}\approx0.1\,\text{кг/м}$$

При изменении магнитной индукции происходит изменение магнитного потока $$\Delta\text{Ф}=\Delta BScos(a)$$ В случае в задаче cos(a)=1
Площадь контура $$S = \frac{\pi D^2}{4}$$ В результате изменения магнитного потока через кольцо возникает ЭДС индукции
По закону электромагнитной индукции $$\xi_i=|{\frac{\Delta\text{Ф}}{\Delta t}}|$$ По закону Ома для участка цепи $$I = \frac{\xi_i}{R}$$ Сопротивление найдем как $$R = \rho \frac{l}{s}$$ где $l=\pi D$ и $s = \frac{\pi d^2}{4}$
По определению $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$, поэтому $\Delta q =I\Delta t$
Тогда итоговая формула $$\Delta q = \frac{ \frac{\Delta B}{\Delta t} \cdot \pi \cdot D \cdot d^2 \cdot \Delta \tau }{16 \rho}$$

$$\Delta q = \frac{2 \cdot 10^{-3} \cdot 3{,}14 \cdot 0{,}2 \cdot 4 \cdot 10^{-6} \cdot 60}{16 \cdot 1{,}72 \cdot 10^{-8}} \approx 1{,}1 \, \text{Кл}.$$ Ответ:1.1 Кл

Запишем ЗСИ $$0=mv_1-Mv_2$$ Запишем ЗСЭ $$\frac{mv_1^2}{2}+\frac{Mv_2^2}{2}=\Delta E$$ Из этой системы уравнений получаем, что $$v_1 = \sqrt{\frac{2M\Delta E}{m(M+m)}}$$ Теперь рассмотрим движение $\alpha$-частицы. Она движется под действием силы Лоренца, тогда по второму закону Ньютона $$F_L = ma$$ $$qv_1B=ma$$ С учетом центростремительного ускорения $$qv_1B=m\frac{v_1^2}{R}$$ $$B = \frac{mv_1}{qR}$$ Тогда итоговая формула $$B = \frac{1}{2eR}\sqrt{\frac{2mM\Delta E}{(M+m)}}$$ Ответ: $B = \frac{1}{2eR}\sqrt{\frac{2mM\Delta E}{(M+m)}}$

Заряженная частица разгонялась электрическим полем, работа электрического поля равна изменению кинетической энергии частицы, поэтому $$\frac{mv^2}{2}=A_{\text{эл.поля}}$$ $$\frac{mv^2}{2}=qU$$ $$v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}$$ Магнитное поле дийствует на ион силой Лоренца $$F_L = qvBsin(a)$$ В случае в задаче sin(a)=1
По второму закону Ньютона $$F_L=ma$$ Так как ион движется по окружности $$qvBsin(a) = m\frac{v^2}{R}$$ Отсюда $$R = \frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}} =\frac{1}{0.2}\sqrt{\frac{2\cdot1.5\cdot10^{-25}\cdot 10^3}{3.2\cdot10^{-19}}}=0.15 \text{м}$$ Ответ:0.15м